Um avião leve atinge uma velocidade do ar de
. O piloto pretende chegar a um ponto 800 km ao norte. mas descobre que deve direcionar o avião
a leste do norte para atingir seu destino. 0 avião chega em 2,00 h. Quais eram (a) O módulo e (b) a orientação da velocidade do vento?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou escrever tudo com as unidades e os números que foram fornecidos):
- Velocidade do avião relativamente ao ar (velocidade em relação ao fluido):
. - O piloto aponta o avião
a leste do norte (ou seja, o rumo do avião relativo ao ar é a leste do norte). - O destino fica
ao norte do ponto de partida. - Tempo total de voo até chegar ao destino:
.
O que é pedido:
(a) o módulo da velocidade do vento (em );
(b) a orientação da velocidade do vento (direção para a qual o vento está soprando), expressa de forma clara (por exemplo, “x° a oeste do sul” ou “rumo y° a partir do norte no sentido horário”).
(a) o módulo da velocidade do vento (em
(b) a orientação da velocidade do vento (direção para a qual o vento está soprando), expressa de forma clara (por exemplo, “x° a oeste do sul” ou “rumo y° a partir do norte no sentido horário”).
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (vetores e soma de velocidades).
- A velocidade do avião em relação ao solo (velocidade “sobre o solo”, chamada de velocidade em relação ao terreno) é a soma vetorial da velocidade do avião em relação ao ar e da velocidade do vento:
onde
é a velocidade do avião relativa ao ar e
é a velocidade do vento (vetor que queremos achar).
- Em componentes cartesianas tomamos eixos: positivo
para leste e positivo para norte. Então
Iremos calcular cada componente e depois obter
por subtração:
Passo 3
Determinar a velocidade do avião em relação ao solo (a partir do deslocamento e do tempo).
- O avião percorre
para o norte em . Logo a velocidade média em relação ao solo (assumindo movimento direto norte sem componente leste final) tem componentes:
Portanto
em
.
Passo 4
Calcular as componentes da velocidade do avião em relação ao ar (
) a partir do seu módulo e do rumo.
- O avião tem velocidade relativa ao ar de módulo
com rumo a leste do norte. - Como o ângulo é medido a partir do norte para leste, as componentes são:
(A explicação: se o ângulo fosse medido a partir do eixo
usual, usaríamos cos em
; aqui medimos a partir do eixo norte (
), então a componente norte usa
e a leste usa
.)
- Substituindo números (vou usar valores trigonométricos padrão:
e ):
Logo
em
.
Passo 5
Agora obter as componentes da velocidade do vento por subtração:
Interpretação imediata:
indica componente para o oeste e
indica componente para o sul. Ou seja, o vento sopra na direção sudoeste (tem componentes para oeste e para sul).
Passo 6
Calcular o módulo da velocidade do vento usando o teorema de Pitágoras:
Fazendo as contas (aproximações mostradas):
Passo 7
Determinar a orientação (ângulo) do vento.
- Queremos o ângulo entre a direção sul e a direção do vento para expressar “oeste do sul” ou equivalente. Como ambos os componentes são negativos, o vetor está no quadrante sudoeste. Uma forma clara é dar o ângulo a oeste do sul (ou o rumo a partir do norte).
- O ângulo
a oeste do sul satisfaz
- Assim
Portanto o vento sopra em direção a
a oeste do sul. Outra forma equivalente de dar o rumo: medido a partir do norte no sentido horário o rumo é
Passo 8
Resumo numérico final (sem novas contas): o vento tem módulo aproximadamente
e aponta para o quadrante sudoeste, especificamente
a oeste do sul (ou rumo
contado a partir do norte no sentido horário). Força e foco — está indo bem!
Resposta
(a)
(b) a oeste do sul (equivalente a rumo
a partir do norte, sentido horário)
(b)