Um avião leve atinge uma velocidade do ar de 500 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. O piloto pretende chegar a um ponto 800 km ao norte. mas descobre que deve direcionar o avião 20.0^{\circ} a leste do norte para atingir seu destino. 0 avião chega em 2,00 h. Quais eram (a) O módulo e (b) a orientação da velocidade do vento?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou escrever tudo com as unidades e os números que foram fornecidos):
  • Velocidade do avião relativamente ao ar (velocidade em relação ao fluido): \;v_{a}=500\\ \mathrm{km/h}.
  • O piloto aponta o avião \;20,0^\circ a leste do norte (ou seja, o rumo do avião relativo ao ar é 20,0^\circ a leste do norte).
  • O destino fica 800\\ \mathrm{km} ao norte do ponto de partida.
  • Tempo total de voo até chegar ao destino: \;t=2,00\\ \mathrm{h}.
O que é pedido:
(a) o módulo da velocidade do vento (em \mathrm{km/h});
(b) a orientação da velocidade do vento (direção para a qual o vento está soprando), expressa de forma clara (por exemplo, “x° a oeste do sul” ou “rumo y° a partir do norte no sentido horário”).

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (vetores e soma de velocidades).
  • A velocidade do avião em relação ao solo (velocidade “sobre o solo”, chamada de velocidade em relação ao terreno) é a soma vetorial da velocidade do avião em relação ao ar e da velocidade do vento:
\vec{v}_{\text{solo}}=\vec{v}_{a}+\vec{v}_{w},
onde \vec{v}_{a} é a velocidade do avião relativa ao ar e \vec{v}_{w} é a velocidade do vento (vetor que queremos achar).
  • Em componentes cartesianas tomamos eixos: positivo x para leste e positivo y para norte. Então
v_{\text{solo},x}=v_{a,x}+v_{w,x},\qquad v_{\text{solo},y}=v_{a,y}+v_{w,y}.
Iremos calcular cada componente e depois obter \vec{v}_{w} por subtração:
\vec{v}_{w}=\vec{v}_{\text{solo}}-\vec{v}_{a}.

Passo 3

Determinar a velocidade do avião em relação ao solo (a partir do deslocamento e do tempo).
  • O avião percorre 800\\ \mathrm{km} para o norte em 2,00\\ \mathrm{h}. Logo a velocidade média em relação ao solo (assumindo movimento direto norte sem componente leste final) tem componentes:
v_{\text{solo},x}=0\\ \mathrm{km/h}, \qquad v_{\text{solo},y}=\frac{800\\ \mathrm{km}}{2{,}00\\ \mathrm{h}}=400\\ \mathrm{km/h}.
Portanto \vec{v}_{\text{solo}}=(0,\;400) em (\text{leste},\\ \text{norte}).

Passo 4

Calcular as componentes da velocidade do avião em relação ao ar ( \vec{v}_{a}) a partir do seu módulo e do rumo.
  • O avião tem velocidade relativa ao ar de módulo \;v_{a}=500\\ \mathrm{km/h} com rumo \theta=20{,}0^\circ a leste do norte.
  • Como o ângulo é medido a partir do norte para leste, as componentes são:
v_{a,x}=v_{a}\sin\theta, \qquad v_{a,y}=v_{a}\cos\theta.
(A explicação: se o ângulo fosse medido a partir do eixo x usual, usaríamos cos em x; aqui medimos a partir do eixo norte ( y), então a componente norte usa \cos e a leste usa \sin.)
  • Substituindo números (vou usar valores trigonométricos padrão: \sin20^\circ\approx0{,}34202014 e \cos20^\circ\approx0{,}93969262):
v_{a,x}=500\sin20{,}0^\circ \approx 500\times0{,}34202014=171{,}010\\ \mathrm{km/h},
v_{a,y}=500\cos20{,}0^\circ \approx 500\times0{,}93969262=469{,}846\\ \mathrm{km/h}.
Logo \vec{v}_{a}\approx(171{,}010,\;469{,}846) em (\text{leste},\\ \text{norte}).

Passo 5

Agora obter as componentes da velocidade do vento por subtração:
v_{w,x}=v_{\text{solo},x}-v_{a,x}=0-171{,}010=-171{,}010\\ \mathrm{km/h},
v_{w,y}=v_{\text{solo},y}-v_{a,y}=400-469{,}846=-69{,}846\\ \mathrm{km/h}.
Interpretação imediata: v_{w,x}<0 indica componente para o oeste e v_{w,y}<0 indica componente para o sul. Ou seja, o vento sopra na direção sudoeste (tem componentes para oeste e para sul).

Passo 6

Calcular o módulo da velocidade do vento usando o teorema de Pitágoras:
|\vec{v}_{w}|=\sqrt{v_{w,x}^{2}+v_{w,y}^{2}} =\sqrt{(-171{,}010)^{2}+(-69{,}846)^{2}}.
Fazendo as contas (aproximações mostradas):
(-171{,}010)^{2}\approx29244{,}44,\qquad (-69{,}846)^{2}\approx4878{,}65,
|\vec{v}_{w}|\approx\sqrt{29244{,}44+4878{,}65}=\sqrt{34123{,}09}\approx184{,}7\\ \mathrm{km/h}.

Passo 7

Determinar a orientação (ângulo) do vento.
  • Queremos o ângulo entre a direção sul e a direção do vento para expressar “oeste do sul” ou equivalente. Como ambos os componentes são negativos, o vetor está no quadrante sudoeste. Uma forma clara é dar o ângulo a oeste do sul (ou o rumo a partir do norte).
  • O ângulo \varphi a oeste do sul satisfaz
\tan\varphi=\frac{|v_{w,x}|}{|v_{w,y}|}=\frac{171{,}010}{69{,}846}\approx2{,}44949.
  • Assim
\varphi=\arctan(2{,}44949)\approx67{,}8^\circ.
Portanto o vento sopra em direção a 67{,}8^\circ a oeste do sul. Outra forma equivalente de dar o rumo: medido a partir do norte no sentido horário o rumo é
180^\circ+\varphi\approx180^\circ+67{,}8^\circ=247{,}8^\circ.

Passo 8

Resumo numérico final (sem novas contas): o vento tem módulo aproximadamente \;184{,}7\\ \mathrm{km/h} e aponta para o quadrante sudoeste, especificamente 67{,}8^\circ a oeste do sul (ou rumo 247{,}8^\circ contado a partir do norte no sentido horário). Força e foco — está indo bem!

Resposta

(a) 184{,}7\\ \mathrm{km/h}
(b) 67{,}8^\circ a oeste do sul (equivalente a rumo 247{,}8^\circ a partir do norte, sentido horário)

Exercícios relacionados