Um pósitron sofre um deslocamento \Delta \vec{r}=2,0 \hat{\imath}-3,0 \hat{\jmath}+6,0 \hat{k} e termina com o vetor posição \vec{r}= 3,0 \hat{\jmath}-4,0 \hat{k}, em metros. Qual era o vetor posição inicial do pósitron?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tirei os números diretamente do enunciado):
  • O deslocamento do pósitron é \Delta \vec{r} = 2{,}0\,\hat{\imath} - 3{,}0\,\hat{\jmath} + 6{,}0\,\hat{k} (em metros).
  • O vetor posição final é \vec{r} = 3{,}0\,\hat{\jmath} - 4{,}0\,\hat{k} (em metros).
    O que o exercício pede:
  • Determinar o vetor posição inicial do pósitron.

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (explicação passo a passo):
  • O deslocamento é definido por \Delta \vec{r} = \vec{r}_{\text{final}} - \vec{r}_{\text{inicial}}. Isso significa que o deslocamento é a diferença entre onde o objeto terminou e onde começou.
  • Para encontrar \vec{r}_{\text{inicial}} isolamos na equação:
\vec{r}_{\text{inicial}} = \vec{r}_{\text{final}} - \Delta \vec{r}.
  • Vetores em componentes se subtraem componente a componente. Se \vec{a}=a_x\hat{\imath}+a_y\hat{\jmath}+a_z\hat{k} e \vec{b}=b_x\hat{\imath}+b_y\hat{\jmath}+b_z\hat{k}, então
\vec{a}-\vec{b}=(a_x-b_x)\hat{\imath}+(a_y-b_y)\hat{\jmath}+(a_z-b_z)\hat{k}.
Vou aplicar essa regra às componentes x,y,z usando os valores dados.

Passo 3

Identificar as componentes dos vetores fornecidos:
  • Da posição final \vec{r} peguei que as componentes são r_x=0{,}0, r_y=3{,}0, r_z=-4{,}0 (observei que não há componente \hat{\imath} explícita, então r_x=0{,}0).
  • Do deslocamento \Delta \vec{r} as componentes são \Delta r_x=2{,}0, \Delta r_y=-3{,}0, \Delta r_z=6{,}0.
Agora calculo componente a componente usando \vec{r}_{\text{inicial}}=\vec{r}_{\text{final}}-\Delta\vec{r}:
  • Componente x:
r_{\text{inicial},x} = r_x - \Delta r_x = 0{,}0 - 2{,}0 = -2{,}0.
  • Componente y:
r_{\text{inicial},y} = r_y - \Delta r_y = 3{,}0 - (-3{,}0) = 3{,}0 + 3{,}0 = 6{,}0.
  • Componente z:
r_{\text{inicial},z} = r_z - \Delta r_z = -4{,}0 - 6{,}0 = -10{,}0.

Passo 4

Montando o vetor posição inicial com as componentes calculadas:
\vec{r}_{\text{inicial}} = -2{,}0\,\hat{\imath} + 6{,}0\,\hat{\jmath} - 10{,}0\,\hat{k}.
Verificação rápida (checagem): calculo \vec{r}_{\text{final}} - \vec{r}_{\text{inicial}} para ver se retorna o deslocamento dado:
\vec{r}_{\text{final}} - \vec{r}_{\text{inicial}} = (0{,}0-(-2{,}0))\hat{\imath} + (3{,}0-6{,}0)\hat{\jmath} + (-4{,}0-(-10{,}0))\hat{k} = 2{,}0\,\hat{\imath} -3{,}0\,\hat{\jmath} +6{,}0\,\hat{k},
que coincide com \Delta \vec{r}. Tudo certo!

Resposta

\vec{r}_{\text{inicial}} = -2{,}0\,\hat{\imath} + 6{,}0\,\hat{\jmath} - 10{,}0\,\hat{k}

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