Um avião pode ser projetado com 3 ou 5 motores, e está apto a voar, se a maioria dos motores funcionar. A probabilidade de um motor funcionar é P. Se os motores funcionam de forma independentes, determine quantos motores o avião deve ter se (A) (P=0,6 \quad) (B) (P=0,4)

Passo 1

O enunciado diz que um avião pode ter 3 ou 5 motores, cada motor funciona com probabilidade P de forma independente, e o avião voa se a maioria dos motores funcionar. Precisamos comparar a probabilidade de voo com 3 motores e com 5 motores e decidir qual projeto é melhor em cada caso. O conteúdo usado será a distribuição binomial e comparação de probabilidades.

Passo 2

Para 3 motores, seja X\sim\mathrm{Bin}(3,P). O avião voa se X\ge2.
P_3 = \Pr(X\ge2) = \binom{3}{2}P^2(1-P) + \binom{3}{3}P^3 = 3P^2(1-P) + P^3.
Simplificando,
P_3 = 3P^2 -2P^3.

Passo 3

Para 5 motores, seja Y\sim\mathrm{Bin}(5,P). O avião voa se Y\ge3.
P_5 = \Pr(Y\ge3) = \binom{5}{3}P^3(1-P)^2 + \binom{5}{4}P^4(1-P) + P^5 = 10P^3(1-P)^2 + 5P^4(1-P) + P^5.
Expandindo,
P_5 = 10P^3 -15P^4 +6P^5.

Passo 4

Para saber qual é maior, calculamos
f(P) = P_5 - P_3 = (10P^3 -15P^4 +6P^5) - (3P^2 -2P^3) = -3P^2 +12P^3 -15P^4 +6P^5 = P^2(-3+12P-15P^2+6P^3) = 3P^2\,(P-1)^2\Bigl(P-\tfrac12\Bigr).
Como P^2 e (P-1)^2 são sempre positivos em [0,1], o sinal de f(P) é o mesmo de P-\tfrac12. Portanto:
se P>\tfrac12 então P_5>P_3, e se P<\tfrac12 então P_3>P_5.

Passo 5

No caso (A) P=0,6. Como 0,6>\tfrac12, temos P_5>P_3 e o melhor é usar 5 motores.
No caso (B) P=0,4. Como 0,4<\tfrac12, temos P_3>P_5 e o melhor é usar 3 motores.

Resposta

(A) 5 motores
(B) 3 motores

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