Um avião pode ser projetado com 3 ou 5 motores, e está apto a voar, se a maioria dos motores funcionar. A probabilidade de um motor funcionar é P. Se os motores funcionam de forma independentes, determine quantos motores o avião deve ter se (A)
(B)
Passo 1
O enunciado diz que um avião pode ter 3 ou 5 motores, cada motor funciona com probabilidade
de forma independente, e o avião voa se a maioria dos motores funcionar. Precisamos comparar a probabilidade de voo com 3 motores e com 5 motores e decidir qual projeto é melhor em cada caso. O conteúdo usado será a distribuição binomial e comparação de probabilidades.
Passo 2
Para 3 motores, seja
. O avião voa se
.
Simplificando,
Passo 3
Para 5 motores, seja
. O avião voa se
.
Expandindo,
Passo 4
Para saber qual é maior, calculamos
Como
e
são sempre positivos em
, o sinal de
é o mesmo de
. Portanto:
se então
, e se
então
.
se
Passo 5
No caso (A)
. Como
, temos
e o melhor é usar 5 motores.
No caso (B) . Como
, temos
e o melhor é usar 3 motores.
No caso (B)
Resposta
(A) 5 motores
(B) 3 motores
(B) 3 motores