Considere um grupo de v Homens e m mulheres. Quantas comissões de R pessoas podem ser formadas?

Passo 1

O enunciado diz que temos um conjunto com v homens e m mulheres e queremos formar comissões de exatamente R pessoas. O conteúdo é contagem por combinações, usando o princípio da soma (distribuir casos) e o princípio do produto (escolher em cada grupo).

Passo 2

Vamos separar por quantos homens i participam da comissão. Se escolhermos i homens (com 0 \le i \le R), então teremos de escolher R - i mulheres.

Passo 3

Para um dado i, o número de maneiras de escolher i homens dentre v é
\binom{v}{i},
e o número de maneiras de escolher R - i mulheres dentre m é
\binom{m}{R - i}.
Pelo princípio do produto, para esse caso i
\binom{v}{i}\,\binom{m}{R - i}
comissões.

Passo 4

Como i pode variar de 0 até R, somamos todos os casos (princípio da soma):
\sum_{i=0}^{R} \binom{v}{i}\,\binom{m}{R - i}.
Pela identidade de Vandermonde, essa soma simplifica para
\binom{v + m}{R}.

Resposta

\boxed{\binom{v + m}{R}}

Exercícios relacionados