Um avião supersônico voa a uma altitude onde a temperatura do ar é -40^{\circ} \mathrm{C}. Considere que o avião passa perpendicularmente por um ponto A sobre a superfície da Terra, voando a uma velocidade tal que seu número de Mach é M=2,0.
a) Calcule a velocidade do som c nessa altitude.
b) Determine a velocidade do avião V.
c) Calcule o ângulo do cone de Mach ( \alpha ).
d) Sabendo que o avião está a uma altura h=10000 \mathrm{~m}, calcule a distância d percorrida pelo avião desde o instante em que passa sobre o ponto A até o momento em que o observador no solo ouve o estrondo sônico (boom), utilizando o ângulo do cone de Mach.

Passo 1

O enunciado nos dá um avião que voa em altitude onde a temperatura do ar é -40^\circ\mathrm{C} e cujo número de Mach é M=2,0. Vamos precisar de:
– A fórmula da velocidade do som em função da temperatura,
– A relação M=V/c entre velocidade do avião V, velocidade do som c e número de Mach M,
– A definição do ângulo do cone de Mach, \sin\alpha=1/M,
– A geometria do cone de Mach para obter a distância horizontal d em função da altura h e do ângulo \alpha.

Passo 2

Primeiro, convertemos a temperatura para Kelvin:
T = -40^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 233{,}15\\ \mathrm{K}.
A velocidade do som em um gás ideal é
c = \sqrt{\gamma\,R\,T},
onde \gamma=1,4 (ar) e R=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Logo,
c = \sqrt{1,4 \cdot 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} \cdot 233{,}15\\ \mathrm{K}} \approx 306\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Usamos a definição do número de Mach, M=V/c. Isolando V,
V = M\,c = 2{,}0 \times 306\\ \mathrm{m/s} = 612\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

O ângulo do cone de Mach \alpha satisfaz \sin\alpha=1/M. Assim,
\sin\alpha = \frac{1}{2{,}0} = 0{,}5 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 30^\circ.

Passo 5

Na projeção do cone de Mach, a distância horizontal d entre o ponto de sobrevoo e o ponto onde o som chega ao solo está dada por
\tan\alpha = \frac{h}{d} \quad\Longrightarrow\quad d = \frac{h}{\tan\alpha}.
Com h=10000\\ \mathrm{m} e \tan30^\circ = 1/\sqrt{3}\approx0{,}577,
d = \frac{10000\\ \mathrm{m}}{0{,}577} \approx 1{,}732\times10^4\\ \mathrm{m}.

Resposta

a) c \approx 306\\ \mathrm{m/s}
b) V \approx 612\\ \mathrm{m/s}
c) \alpha = 30^\circ
d) d \approx 1{,}73\times10^4\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados