Partindo de princípios básicos, deduza expressões que possam ser usadas para determinar as variações de 𝑇𝑓 e 𝑇𝑞, 𝑠𝑎𝑖 com o tempo durante o processo de aquecimento. Sugestão: Duas equações podem ser escritas para a taxa de transferência de calor, 𝑞(𝑡) , para o fármaco, uma com base na média logarítmica das diferenças de temperaturas e a outra em um balanço de energia no escoamento do fluido quente pela serpentina. Iguale essas expressões para determinar 𝑇𝑞, 𝑠𝑎𝑖 (𝑡) como uma função de 𝑇𝑓(𝑡) e dos parâmetros especificados. Use a expressão para 𝑇𝑞, 𝑠𝑎𝑖 (𝑡) e o balanço de energia no escoamento pela serpentina, em conjunto com um balanço de energia para um volume de controle contendo o fármaco para obter uma expressão para 𝑇𝑓(𝑡).
8.32 (b) Seja um volume de fármaco 𝑉𝑓=1 𝑚3 , com massa específica 𝜌𝑓=1100 𝑘𝑔/𝑚3 , calor específico 𝑐𝑣𝑓=2000 𝐽/(𝑘𝑔⋅𝐾) e uma temperatura inicial de 𝑇𝑓, 𝑖=25∘𝐶 . Uma serpentina com comprimento 𝐿=40 𝑚 , diâmetro do tubo 𝐷=50 𝑚𝑚 e diâmetro da serpentina 𝐶=500 𝑚𝑚 está submersa no vaso. O fluido quente é alimentado na serpentina a 𝑇𝑞, 𝑒𝑛𝑡=200∘𝐶 e a uma vazão de 𝑚̇𝑞=2,4 𝑘𝑔/𝑠 . O coeficiente convectivo na superficie externa da serpentina pode ser aproximado por ℎ𝑒=1000 𝑊/(𝑚2⋅𝐾) e as propriedades do fluido quente são 𝑐𝑝, 𝑞=2500 𝐽/(𝑘𝑔⋅𝐾), 𝜇𝑞=0,002 𝑁. 𝑠/𝑚2, 𝑘𝑞=0,260 𝑊/(𝑚⋅𝐾) e 𝑃𝑟𝑞=20 . Para as condições anteriores, calcule e represente graficamente a temperatura do fármaco 𝑇𝑓 𝑒 a temperatura de saída do fluido quente 𝑇𝑞, 𝑠𝑎𝑖 como uma função do tempo para o intervalo 0≤𝑡≤3600 𝑠 . Quanto tempo demora para se atingir uma
temperatura da batelada de 𝑇𝑓=160∘𝐶 ? O operador do processo pode controlar o tempo de aquecimento variando 𝑚̇𝑞 . Para 1≤𝑚̇𝑞≤5 𝑘𝑔/𝑠 , explore o efeito da vazão mássica no tempo 𝑡𝑓 necessário para atingir um valor de 𝑇𝑓=160∘𝐶 .
8.32 (b) Seja um volume de fármaco 𝑉𝑓=1 𝑚3 , com massa específica 𝜌𝑓=1100 𝑘𝑔/𝑚3 , calor específico 𝑐𝑣𝑓=2000 𝐽/(𝑘𝑔⋅𝐾) e uma temperatura inicial de 𝑇𝑓, 𝑖=25∘𝐶 . Uma serpentina com comprimento 𝐿=40 𝑚 , diâmetro do tubo 𝐷=50 𝑚𝑚 e diâmetro da serpentina 𝐶=500 𝑚𝑚 está submersa no vaso. O fluido quente é alimentado na serpentina a 𝑇𝑞, 𝑒𝑛𝑡=200∘𝐶 e a uma vazão de 𝑚̇𝑞=2,4 𝑘𝑔/𝑠 . O coeficiente convectivo na superficie externa da serpentina pode ser aproximado por ℎ𝑒=1000 𝑊/(𝑚2⋅𝐾) e as propriedades do fluido quente são 𝑐𝑝, 𝑞=2500 𝐽/(𝑘𝑔⋅𝐾), 𝜇𝑞=0,002 𝑁. 𝑠/𝑚2, 𝑘𝑞=0,260 𝑊/(𝑚⋅𝐾) e 𝑃𝑟𝑞=20 . Para as condições anteriores, calcule e represente graficamente a temperatura do fármaco 𝑇𝑓 𝑒 a temperatura de saída do fluido quente 𝑇𝑞, 𝑠𝑎𝑖 como uma função do tempo para o intervalo 0≤𝑡≤3600 𝑠 . Quanto tempo demora para se atingir uma
temperatura da batelada de 𝑇𝑓=160∘𝐶 ? O operador do processo pode controlar o tempo de aquecimento variando 𝑚̇𝑞 . Para 1≤𝑚̇𝑞≤5 𝑘𝑔/𝑠 , explore o efeito da vazão mássica no tempo 𝑡𝑓 necessário para atingir um valor de 𝑇𝑓=160∘𝐶 .
Passo 1
O problema trata de aquecer um volume de fármaco de modo que sua temperatura interna
varie no tempo, usando um fluido quente que circula numa serpentina imersa. O que precisamos aplicar é
- o conceito de balanço de energia (primeira lei da termodinâmica) para o fármaco e para o fluido quente;
- o método de média logarítmica de diferenças de temperatura (LMTD) para relacionar a taxa de calor transferido
com as temperaturas do fluido e do fármaco; - a abordagem NTU–
(número de unidades de transferência e eficácia) para simplificar a relação entre e .
Passo 2
Escrevemos duas expressões para a taxa de calor
:
(a) Balanço no escoamento do fluido quente na serpentina
(b) LMTD na transferência de calor entre o fluido e o fármaco
Aqui
é o coeficiente global de transferência de calor (assumido igual a
),
é a área externa da serpentina.
Passo 3
Igualando (a) e (b) obtemos uma relação implícita entre
e
. Mais convenientemente, usamos o modelo de trocador de calor contra-corrente com capacidade infinita do lado do fármaco (fluxo estacionário do fluido no tubo):
Definindo
a eficácia do trocador é
e a taxa de calor fica
Daí
Passo 4
Agora o balanço de energia no volume de fármaco dá
Logo obtemos a EDO linear
A solução, com
, é
Em seguida
segue da fórmula do passo 3.
Passo 5
Substituímos os dados numéricos:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Logo a constante da EDO é
Assim
Para
s, estes perfis podem ser traçados em software numérico (por exemplo MATLAB, Python).
Tempo para atingir
:
Passo 6
Para estudar o efeito de
em
kg/s, recalculamos
,
e
. Os tempos
para
ficam aproximadamente:
Ou seja, aumentar
reduz o tempo de aquecimento.
Resposta
O gráfico mostra
subindo de
a cerca de
e
decaindo de
até se aproximar de
.
Tempo para com
kg/s:
s.
Variação de kg/s leva a
entre
s (
min) e
s (
min).
Tempo para
Variação de