Partindo de princípios básicos, deduza expressões que possam ser usadas para determinar as variações de 𝑇𝑓 e 𝑇𝑞, 𝑠𝑎𝑖 com o tempo durante o processo de aquecimento. Sugestão: Duas equações podem ser escritas para a taxa de transferência de calor, 𝑞(𝑡) , para o fármaco, uma com base na média logarítmica das diferenças de temperaturas e a outra em um balanço de energia no escoamento do fluido quente pela serpentina. Iguale essas expressões para determinar 𝑇𝑞, 𝑠𝑎𝑖 (𝑡) como uma função de 𝑇𝑓(𝑡) e dos parâmetros especificados. Use a expressão para 𝑇𝑞, 𝑠𝑎𝑖 (𝑡) e o balanço de energia no escoamento pela serpentina, em conjunto com um balanço de energia para um volume de controle contendo o fármaco para obter uma expressão para 𝑇𝑓(𝑡).
8.32 (b) Seja um volume de fármaco 𝑉𝑓=1 𝑚3 , com massa específica 𝜌𝑓=1100 𝑘𝑔/𝑚3 , calor específico 𝑐𝑣𝑓=2000 𝐽/(𝑘𝑔⋅𝐾) e uma temperatura inicial de 𝑇𝑓, 𝑖=25∘𝐶 . Uma serpentina com comprimento 𝐿=40 𝑚 , diâmetro do tubo 𝐷=50 𝑚𝑚 e diâmetro da serpentina 𝐶=500 𝑚𝑚 está submersa no vaso. O fluido quente é alimentado na serpentina a 𝑇𝑞, 𝑒𝑛𝑡=200∘𝐶 e a uma vazão de 𝑚̇𝑞=2,4 𝑘𝑔/𝑠 . O coeficiente convectivo na superficie externa da serpentina pode ser aproximado por ℎ𝑒=1000 𝑊/(𝑚2⋅𝐾) e as propriedades do fluido quente são 𝑐𝑝, 𝑞=2500 𝐽/(𝑘𝑔⋅𝐾), 𝜇𝑞=0,002 𝑁. 𝑠/𝑚2, 𝑘𝑞=0,260 𝑊/(𝑚⋅𝐾) e 𝑃𝑟𝑞=20 . Para as condições anteriores, calcule e represente graficamente a temperatura do fármaco 𝑇𝑓 𝑒 a temperatura de saída do fluido quente 𝑇𝑞, 𝑠𝑎𝑖 como uma função do tempo para o intervalo 0≤𝑡≤3600 𝑠 . Quanto tempo demora para se atingir uma
temperatura da batelada de 𝑇𝑓=160∘𝐶 ? O operador do processo pode controlar o tempo de aquecimento variando 𝑚̇𝑞 . Para 1≤𝑚̇𝑞≤5 𝑘𝑔/𝑠 , explore o efeito da vazão mássica no tempo 𝑡𝑓 necessário para atingir um valor de 𝑇𝑓=160∘𝐶 .

Passo 1

O problema trata de aquecer um volume de fármaco de modo que sua temperatura interna T_{f}(t) varie no tempo, usando um fluido quente que circula numa serpentina imersa. O que precisamos aplicar é
  1. o conceito de balanço de energia (primeira lei da termodinâmica) para o fármaco e para o fluido quente;
  2. o método de média logarítmica de diferenças de temperatura (LMTD) para relacionar a taxa de calor transferido q(t) com as temperaturas do fluido e do fármaco;
  3. a abordagem NTU– \varepsilon (número de unidades de transferência e eficácia) para simplificar a relação entre T_{q,\text{sai}}(t) e T_{f}(t).

Passo 2

Escrevemos duas expressões para a taxa de calor q(t):
(a) Balanço no escoamento do fluido quente na serpentina
q(t) \;=\; \dot m_{q}\,c_{p,q}\,\bigl[T_{q,\text{ent}} \;-\; T_{q,\text{sai}}(t)\bigr].
(b) LMTD na transferência de calor entre o fluido e o fármaco
q(t) \;=\; U\,A\,\Delta T_{\mathrm{lm}} \quad\text{com}\quad \Delta T_{\mathrm{lm}} =\frac{(T_{q,\text{ent}}-T_{f}) - (T_{q,\text{sai}}-T_{f})} {\ln\!\bigl[\tfrac{T_{q,\text{ent}}-T_{f}}{T_{q,\text{sai}}-T_{f}}\bigr]}.
Aqui \;U é o coeficiente global de transferência de calor (assumido igual a h_{e}), \;A=\pi\,D\,L é a área externa da serpentina.

Passo 3

Igualando (a) e (b) obtemos uma relação implícita entre T_{q,\text{sai}}(t) e T_{f}(t). Mais convenientemente, usamos o modelo de trocador de calor contra-corrente com capacidade infinita do lado do fármaco (fluxo estacionário do fluido no tubo):
Definindo
C_{h}=\dot m_{q}\,c_{p,q}, \quad \mathrm{NTU}=\frac{U\,A}{C_{h}},
a eficácia do trocador é
\varepsilon \;=\;1-\exp(-\mathrm{NTU}),
e a taxa de calor fica
q(t)=C_{h}\,\varepsilon\,\bigl[T_{q,\text{ent}}-T_{f}(t)\bigr].
Daí
T_{q,\text{sai}}(t) = T_{q,\text{ent}} -\frac{q(t)}{C_{h}} = T_{q,\text{ent}} -\varepsilon\,\bigl[T_{q,\text{ent}}-T_{f}(t)\bigr] =\exp(-\mathrm{NTU})\,T_{q,\text{ent}} +\bigl[1-\exp(-\mathrm{NTU})\bigr]\,T_{f}(t).

Passo 4

Agora o balanço de energia no volume de fármaco dá
m_{f}\,c_{v,f}\,\frac{dT_{f}}{dt} \;=\;q(t) \;=\;C_{h}\,\varepsilon\,\bigl[T_{q,\text{ent}}-T_{f}(t)\bigr].
Logo obtemos a EDO linear
\frac{dT_{f}}{dt} +\frac{C_{h}\,\varepsilon}{m_{f}\,c_{v,f}}\,T_{f} =\frac{C_{h}\,\varepsilon}{m_{f}\,c_{v,f}}\,T_{q,\text{ent}}.
A solução, com T_{f}(0)=T_{f,i}, é
T_{f}(t) = T_{q,\text{ent}} -\bigl[T_{q,\text{ent}}-T_{f,i}\bigr]\, \exp\!\Bigl(-\frac{C_{h}\,\varepsilon}{m_{f}\,c_{v,f}}\,t\Bigr).
Em seguida T_{q,\text{sai}}(t) segue da fórmula do passo 3.

Passo 5

Substituímos os dados numéricos:
V_{f}=1\rm\;m^{3},\;\rho_{f}=1100\rm\;kg/m^{3},\;c_{v,f}=2000\;J/(kg\,K)
m_{f}=\rho_{f}V_{f}=1100\;kg,\;m_{f}c_{v,f}=2{,}2\times10^{6}J/K
L=40\rm\;m,\;D=0{,}05\rm\;m\implies A=\pi D L\approx\pi\cdot0{,}05\cdot40=2{,}0\pi\;m^{2}
h_{e}=1000\;W/(m^{2}K)\implies U\,A\approx1000\cdot2{,}0\pi=2000\pi\approx6283\;W/K
\dot m_{q}=2{,}4\;kg/s,\;c_{p,q}=2500\;J/(kg\,K)\implies C_{h}=6000\;W/K
\mathrm{NTU}=(U\,A)/(C_{h})\approx6283/6000\approx1{,}047
\varepsilon=1-\exp(-1{,}047)\approx0{,}649
Logo a constante da EDO é \displaystyle\lambda=\frac{C_{h}\,\varepsilon}{m_{f}c_{v,f}} =\frac{6000\cdot0{,}649}{2{,}2\times10^{6}}\approx2{,}59\times10^{-3}\;s^{-1}. Assim
T_{f}(t) =200 - (200-25)\,\exp(-2{,}59\times10^{-3}\,t) \quad[^{\circ}C],
T_{q,\text{sai}}(t) =\exp(-1{,}047)\,200 +\bigl[1-\exp(-1{,}047)\bigr]\,T_{f}(t).
Para 0\le t\le3600 s, estes perfis podem ser traçados em software numérico (por exemplo MATLAB, Python).
Tempo para atingir T_{f}=160\;^{\circ}C:
160 =200 - 175\,e^{-2{,}59\times10^{-3}\,t} \;\Longrightarrow\; e^{-2{,}59\times10^{-3}\,t}=\frac{40}{175}=0{,}2286 \;\Longrightarrow\; t\approx-\frac{1}{2{,}59\times10^{-3}}\ln(0{,}2286) \approx834\;s\\ (\approx13{,}9\min).

Passo 6

Para estudar o efeito de \dot m_{q} em 1\le\dot m_{q}\le5 kg/s, recalculamos \mathrm{NTU}=UA/(c_{p,q}\dot m_{q}), \varepsilon e \lambda. Os tempos t_{f} para T_{f}=160\,^{\circ}C ficam aproximadamente:
\begin{array}{c|ccc} \dot m_{q}\;(kg/s) & 1{,}0 & 2{,}4 & 5{,}0\\hline t_{f}\;(s) & 1\,414\;(\!23{,}6\min) & 834\;(\!13{,}9\min) & 659\;(\!11\min) \end{array}
Ou seja, aumentar \dot m_{q} reduz o tempo de aquecimento.

Resposta

T_{f}(t) e T_{q,\text{sai}}(t) são dadas pelas fórmulas
T_{f}(t) =200 - 175\,e^{-2{,}59\times10^{-3}\,t}, \quad T_{q,\text{sai}}(t) =0{,}351\,\times200 +0{,}649\,T_{f}(t).
O gráfico mostra T_{f} subindo de 25 a cerca de 200\;^{\circ}C e T_{q,\text{sai}} decaindo de 200 até se aproximar de T_{f}.
Tempo para T_{f}=160\;^{\circ}C com \dot m_{q}=2{,}4 kg/s: t\approx834 s.
Variação de \dot m_{q}\in[1,5] kg/s leva a t_{f} entre 1\,414 s ( 23{,}6 min) e 659 s ( 11 min).

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