Considere o funcionamento de uma válvula de admissão de um motor esportivo como um bocal convergente, com área de garganta A^{*}=2,5 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2}. O ar entra na válvula a partir do coletor de admissão, que está a pressão de estagnação p_{0}=120 \mathrm{kPa} e temperatura de estagnação T_{0}=330 \mathrm{~K}. Suponha que o escoamento é isentrópico e que a pressão a jusante é suficientemente baixa para que o escoamento atinja Mach 1 na garganta (condição de bloqueio).
a) Calcule a pressão e a temperatura críticas na garganta.
b) Calcule a velocidade do escoamento na garganta.
c) Calcule a vazão mássica máxima teórica de ar admitido pela válvula.

Passo 1

O enunciado descreve o escoamento de ar por um bocal convergente que atinge Mach 1 na garganta (escoamento bloqueado). O ar no coletor tem pressão de estagnação p_{0}=120\:\mathrm{kPa} e temperatura de estagnação T_{0}=330\:\mathrm{K}. Vamos usar a teoria do escoamento isentrópico de gases perfeitos com \gamma=1,4 e R=287\:\mathrm{J/(kg\cdot K)} para:
  1. Calcular as condições críticas M=1 de pressão p^{*} e temperatura T^{*}.
  2. Determinar a velocidade na garganta, que será a velocidade do som a T^{*}.
  3. Calcular a vazão mássica máxima \dot m=\rho^{*}A^{*}V^{*}.

Passo 2

Para o escoamento isentrópico em condição crítica M=1 valem as fórmulas
T^{*}=T_{0}\,\frac{2}{\gamma+1},
p^{*}=p_{0}\,\Bigl(\frac{2}{\gamma+1}\Bigr)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}.

Passo 3

Substituindo \gamma=1,4 e T_{0}=330\:\mathrm{K}:
T^{*}=330\;\frac{2}{1,4+1}=330\;\frac{2}{2,4}=330\times0{,}8333\approx275\:\mathrm{K}.
Para a pressão:
p^{*}=120\,000\;\Bigl(0{,}8333\Bigr)^{\!3{,}5} \approx120\,000\times0{,}5285\approx63\,420\:\mathrm{Pa}\;(63{,}4\:\mathrm{kPa}).

Passo 4

A velocidade na garganta é a velocidade do som a T^{*}:
V^{*}=\sqrt{\gamma\,R\,T^{*}} =\sqrt{1{,}4\times287\times275} \approx332\:\mathrm{m/s}.

Passo 5

A densidade crítica é
\rho^{*}=\frac{p^{*}}{R\,T^{*}} =\frac{63\,420}{287\times275} \approx0{,}804\:\mathrm{kg/m^3}.
Logo a vazão mássica máxima é
\dot m=\rho^{*}\,A^{*}\,V^{*} =0{,}804\times2{,}5\times10^{-4}\times332 \approx0{,}067\:\mathrm{kg/s}.

Resposta

Temperatura crítica T^{*}\approx275\:\mathrm{K}
Pressão crítica p^{*}\approx63{,}4\:\mathrm{kPa}
Velocidade na garganta V^{*}\approx332\:\mathrm{m/s}
Vazão mássica máxima \dot m\approx0{,}067\:\mathrm{kg/s}

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