Um avião de turismo de 4 lugares pode levar uma carga útil de 350 kg . Supondo que os passageiros têm peso de 70 kg normalmente distribuídos e desvio padrão de 20 kg . Suponha que a bagagem de cada um pesa em média de 12 kg , com desvio padrão de 5 kg . Calcular a probabilidade de: (a) haver sobrecarga, (b) que seja necessário tirar pelo menos 50 kg de gasolina para resolver a sobrecarga. (Repostas: (a) 0,2981, (b) 0,0409).

Passo 1

Beleza, vamos resumir a parada. A questão fala de um avião que leva 4 passageiros, com capacidade total de carga útil de 350 kg. Cada passageiro tem peso e cada bagagem pesa . Queremos a probabilidade de:
a) dar sobrecarga ( ).
b) precisar tirar pelo menos 50 kg de gasolina, ou seja, .
O conteúdo que vamos usar é:
  • Soma de variáveis normais independentes é normal.
  • Como achar média e variância dessa soma.
  • Como usar a tabela da normal padrão (transformar em ).

Passo 2

Definindo a variável total:
T = sumi=1^4 Xi + sumi=1^4 Bi
Como cada muT = 4cdot 70 + 4cdot 12 = 280 + 48 = 328;kg é sigmaT^2 = 4cdot 20^2 + 4cdot 5^2 = 4cdot 400 + 4cdot 25 = 1600 + 100 = 1700, e cada sigmaT = raiz1700approx 41,23;kg é , e tudo é independente, temos:
Média de :
Variância de :
logo desvio padrão

Passo 3

(a) Probabilidade de sobrecarga Z = 350 - muTsigmaT = 350 - 32841,23 approx 0,5335 .
  1. Calculo do P(T>350) = 1 - Phi(0,5335) approx 1 - 0,7019 = 0,2981 :
  1. Pela tabela da normal padrão,
    .
  2. Então

Passo 4

(b) Probabilidade de precisar tirar 50 kg de gasolina, ou seja Z = 400 - 32841,23 = 7241,23 approx 1,7466 .
  1. Calculo do P(T>400) = 1 - Phi(1,7466) approx 1 - 0,9591 = 0,0409 :
  1. Pela tabela,
    .
  2. Então

Resposta

(a)
(b)

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