Um avião vai para o nordeste a 720 \mathrm{~km} / \mathrm{h} (velocidade no ar). O vento está indo soprando para o sul a 120 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. A velocidade v_{T} do avião em relação à terra é a soma dos vetores anteriores. Determine v_{T} gráfica e analiticamente e encontre a rapidez do avião, isto é, determine \left|v_{T}\right|.

Passo 1

O enunciado diz que o avião tem velocidade relativa ao ar de 720,km/h apontando para o nordeste (ângulo de 45^\circ em relação ao leste) e o vento sopra para o sul com 120,km/h. Vamos usar adição vetorial, escolhendo eixos cartesi os com x para leste e y para norte, e depois achar a rapidez \lvert v_{T}\rvert.

Passo 2

No sistema de eixos definido, o vetor velocidade do avião em relação ao ar é
v_{A} = \bigl(v_{Ax},\,v_{Ay}\bigr)
com
v_{Ax} = 720\cos45^\circ, \quad v_{Ay} = 720\sin45^\circ.
Como \cos45^\circ=\sin45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}, temos
v_{Ax} = 720\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}=360\sqrt2, \quad v_{Ay}=360\sqrt2.

Passo 3

O vetor vento em relação à terra é
v_{V} = (0,\,-120).
Logo, a soma vetorial (velocidade do avião em relação à terra) é
v_{T} = v_{A} + v_{V} = \bigl(360\sqrt2,\;360\sqrt2\bigr) + \bigl(0,\,-120\bigr) = \bigl(360\sqrt2,\;360\sqrt2 - 120\bigr).
Graficamente, desenhamos no plano o vetor v_{A} (seta a 45^\circ nordeste) e a partir da ponta dele desenhamos o vetor v_{V} para baixo. A diagonal do paralelogramo resultante é v_{T}.

Passo 4

Para achar a rapidez, calculamos o módulo de v_{T}:
\lvert v_{T}\rvert = \sqrt{\bigl(360\sqrt2\bigr)^{2} + \bigl(360\sqrt2 - 120\bigr)^{2}}.
Calculando:
360\sqrt2\approx509{,}1, \quad 360\sqrt2 - 120\approx389{,}1,
\lvert v_{T}\rvert \approx \sqrt{509{,}1^{2} + 389{,}1^{2}} \approx 642\text{ km/h}.

Resposta

A velocidade em relação à terra é
v_{T} = \bigl(360\sqrt2,\;360\sqrt2 - 120\bigr)\text{ km/h}
e a rapidez do avião sobre a terra é aproximadamente 642,km/h.

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