Dados os pontos A=(2,5), B=(9,2) e C=(-3,4), encontre o ponto D de modo que o polígono de vértices A, B, C e D seja um paralelogramo. (Três soluções)

Passo 1

O enunciado nos dá os pontos
A=(2,5),\quad B=(9,2),\quad C=(-3,4)
e pede o ponto D de modo que A,B,C,D seja um paralelogramo. O conteúdo aqui é geometria vetorial: em qualquer paralelogramo a soma das coordenadas dos vértices opostos é igual. Em outras palavras, se dois pontos conhecidos formam uma diagonal, os outros dois também formam a outra diagonal e valem
\text{vértice}_1 + \text{vértice}_2 = \text{vértice}_3 + \text{vértice}_4.éééé

Passo 2

Caso 1: suponha que A e C sejam vértices opostos. Então B e D também são opostos e vale
A + C = B + D.
Isolando D, temos
D_1 = A + C - B.
Substituindo coordenadas:
D_1 = (2 + (-3) - 9,\;5 + 4 - 2) = (-10,7).
Logo um possível D é (-10,7).

Passo 3

Caso 2: suponha que B e C sejam vértices opostos. Então A e D são opostos e vale
B + C = A + D.
Isolando D,
D_2 = B + C - A.
Substituindo:
D_2 = (9 + (-3) - 2,\;2 + 4 - 5) = (4,1).
Logo outro possível D é (4,1).

Passo 4

Caso 3: suponha que A e B sejam vértices opostos. Então C e D são opostos e vale
A + B = C + D.
Isolando D,
D_3 = A + B - C.
Substituindo:
D_3 = (2 + 9 - (-3),\;5 + 2 - 4) = (14,3).
Logo o terceiro possível D é (14,3).

Resposta

Os três pontos D que fecham um paralelogramo com A,B,C são: (-10,7), (4,1) e (14,3).

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