Dados os vetores \vec{u}=(a,-b), \vec{v}=(2 b, c) e \vec{u}+\vec{v}=(1,1). Se \vec{u} / / \vec{v}, calcule \frac{a b}{c}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(a,-b) e \vec{v}=(2b,c), sabe que \vec{u}+\vec{v}=(1,1) e que \vec{u} é paralelo a \vec{v}. O objetivo é encontrar \frac{ab}{c}. Vamos usar a soma de componentes para obter um sistema e a condição de paralelismo para relacionar a,b,c.

Passo 2

Da soma \vec{u}+\vec{v}=(1,1) obtemos as equações
a + 2b = 1, \quad -b + c = 1.
Como \vec{u} é paralelo a \vec{v}, existe \lambda tal que \vec{u}=\lambda\vec{v}. Em componentes:
\frac{a}{2b} = \frac{-b}{c}.

Passo 3

Das equações da soma isolamos
a = 1 - 2b, \quad c = 1 + b.
A condição de paralelismo em forma de produto dá
a\,c = -2b^2.
Substituindo a e c:
(1 - 2b)(1 + b) = -2b^2.

Passo 4

Expandindo e simplificando:
1 - b - 2b^2 = -2b^2 \quad\Longrightarrow\quad 1 - b = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = 1.
Logo
a = 1 - 2\cdot1 = -1, \quad c = 1 + 1 = 2.

Passo 5

Finalmente,
\frac{ab}{c} = \frac{(-1)\cdot1}{2} = -\tfrac12.

Resposta

-\tfrac12

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