Se \vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}\right) e \vec{b}=\frac{1}{3}(2,-4) apontam em direções opostas e se a_{1}^{2}+a_{2}^{2}=25, encontre a_{2}-a_{1}.

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em \mathbb{R}^2: \vec{a}=(a_{1},a_{2}) e \vec{b}=\tfrac{1}{3}(2,-4)=(\tfrac{2}{3},-\tfrac{4}{3}).
Eles apontam em direções opostas e sabemos que \|\vec{a}\|^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}=25.
O conteúdo é vetor colinearidade e magnitude; vamos usar a ideia de múltiplo escalar para vetores em direções opostas.

Passo 2

Quando dois vetores apontam em direções opostas, um é múltiplo escalar negativo do outro.
Logo existe um k>0 tal que
\vec{a}=-k\,\vec{b}.

Passo 3

Calculamos a magnitude de \vec{b}:
\|\vec{b}\| =\sqrt{\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{2}+\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)^{2}} =\sqrt{\tfrac{4}{9}+\tfrac{16}{9}} =\sqrt{\tfrac{20}{9}} =\tfrac{2\sqrt{5}}{3}.

Passo 4

Como \|\vec{a}\|=5 e \|\vec{a}\|=k\,\|\vec{b}\|, temos
5 = k\cdot \frac{2\sqrt{5}}{3} \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{5\cdot3}{2\sqrt{5}} = \frac{15}{2\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{2}.

Passo 5

Então
\vec{a} =-\frac{3\sqrt{5}}{2}\,\bigl(\tfrac{2}{3},-\tfrac{4}{3}\bigr) =\Bigl(-\frac{3\sqrt{5}}{2}\cdot\tfrac{2}{3},\; -\frac{3\sqrt{5}}{2}\cdot\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)\Bigr) =(-\sqrt{5},\,2\sqrt{5}).

Passo 6

Por fim,
a_{2}-a_{1} =2\sqrt{5}-(-\sqrt{5}) =3\sqrt{5}.

Resposta

3\sqrt{5}

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