Um avião voa de um aeroporto e pousa uma hora depois em outro aeroporto, 600 km distante. Se t representa o tempo em minutos desde a partida e sejam x(t) a distância horizontal percorrida e y(t) a altitude do avião:
esboce um possível gráfico de x(t).

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: queremos esboçar um gráfico de x(t), que é a distância horizontal (em km) percorrida pelo avião, em função do tempo t (em minutos). Sabemos que t varia de 0 a 60, com x(0)=0 e x(60)=600. Trata-se de modelagem e esboço de gráficos de funções.

Passo 2

Propriedades qualitativas de x(t): como o avião parte do solo, acelera até a velocidade de cruzeiro, voa em velocidade quase constante e depois desacelera para pousar, nossa função x(t) deve ser contínua, estritamente crescente e derivável.

Passo 3

Análise das fases de voo: na decolagem a velocidade (derivada x′(t)) aumenta, então x(t) tem concavidade positiva; no cruzeiro a velocidade é aproximadamente constante, logo x(t) se comporta quase como uma reta (concavidade zero); na aproximação e pouso a velocidade diminui, fazendo x(t) ter concavidade negativa.

Passo 4

Exemplo de esboço suave: uma curva em S que liga (0,0) a (60,600) e passa por essas três fases pode ser dada pela “smoothstep”:
x(t) = 600l(3l(tfrac t60r)^2 - 2l(tfrac t60r)^3r), 0 <= t <= 60
Esse gráfico começa com inclinação zero, cresce cada vez mais rápido até t=30, depois desacelera a inclinação até terminar em (60,600).

Resposta

Um esboço de x(t) no plano t×x de 0≤t≤60 e 0≤x≤600 é uma curva em S contínua e crescente, com concavidade positiva no início (aceleração), reta quase no meio (cruzeiro) e concavidade negativa no final (desaceleração), ligando o ponto (0,0) ao ponto (60,600).

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