Calcule os seguintes limites:
lim x pi2^+ tg(x)1-sen(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxtopi2^+tan x1-sin x. O conteúdo aqui é análise de limite de funções trigonométricas próximas a um ponto em que “ tan x” tende a infinito e “ 1-sin x” tende a zero. Vamos usar identificação de sinais e aproximações (expansões de Taylor) para entender o comportamento da razão.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a tangente em termos de seno e cosseno:
tan x=sin xcos x
e observamos que ao aproximar x de pi2 pela direita temos sin xto1 e e o denominador a cos xto0^-") Assim o numerador tende a (-infty, indicando um resultado potencialmente “(-\infty)”.

Passo 3

Para confirmar, fazemos a mudança de variável x=pi2+h com hto0^+. Usamos as expansões de Taylor de primeira ordem (ou segunda, quando necessário):
sinl(pi2+hr)=cos h=1-h^22+o(h^2)
cosl(pi2+hr)=-sin h=-h+o(h)
Logo, o denominador fica:
$$
1-\sin x=1-\Bigl(1-\frac{h2}{2}+o(h2)\Bigr)=\frac{h2}{2}+o(h2)
1-sin x=1-l(1-h^22+o(h^2)r)=h^22+o(h^2) \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{1-\frac{h2}{2}+o(h2)}{-h+o(h)}=-\frac{1}{h}+O(h)
$$

Passo 4

Dividindo, obtemos:
$$\frac{\tan x}{1-\sin x}=\frac{-\frac{1}{h}+O(h)}{\frac{h2}{2}+o(h2)}=-\frac{2}{h3}+o\Bigl(\frac{1}{h3}\Bigr)
$$
Como tan x1-sin x=-1h+O(h)h^22+o(h^2)=-2h^3+ol(1h^3r) , o termo hto0^+ tende a -2/h^3).

Resposta

-\infty

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