Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
. O conteúdo aqui é análise de limite de funções trigonométricas próximas a um ponto em que “
” tende a infinito e “
” tende a zero. Vamos usar identificação de sinais e aproximações (expansões de Taylor) para entender o comportamento da razão.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos a tangente em termos de seno e cosseno:
e observamos que ao aproximar
Passo 3
Para confirmar, fazemos a mudança de variável
com
. Usamos as expansões de Taylor de primeira ordem (ou segunda, quando necessário):
Logo, o denominador fica:
$$
1-\sin x=1-\Bigl(1-\frac{h2}{2}+o(h2)\Bigr)=\frac{h2}{2}+o(h2)
$$
Passo 4
Dividindo, obtemos:
$$\frac{\tan x}{1-\sin x}=\frac{-\frac{1}{h}+O(h)}{\frac{h2}{2}+o(h2)}=-\frac{2}{h3}+o\Bigl(\frac{1}{h3}\Bigr)
$$
Como , o termo
tende a
.
Como
Resposta
-\infty