Um avião voa a uma altitude H=845 m à velocidade constante horizontal v=60 m / s. No instante t=0 um pacote é solto do avião que continua o seu voo sem alterar a sua velocidade. O vetor posição do pacote é r=(60 t) imath+(845-4,9 t^2) jmath (em unidades do SI). No instante t=0 a origem do vetor posição coincide com o pé da vertical do solo até o avião. Determinar a componente horizontal (x) e a vertical (y) da velocidade do pacote quando ele atingir o solo (y=0).

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é cinemática no plano, mais especificamente um corpo largado de um avião. A posição do pacote é dada pelo vetor
.
A gente quer achar a velocidade (componentes e ) justamente no instante em que ele bate no chão (ou seja, quando a componente vertical ).
Conteúdo envolvido:
  • Movimento uniformemente acelerado (gravidade)
  • Derivada de posição para achar velocidade
  • Resolver equação para achar o tempo de queda

Passo 2

Primeiro, encontrar o tempo y(t)=845-4,9,t^2=0 tal que a altura fique zero. Isso vem de
4,9,t^2=845 Longrightarrow t^2=8454,9 Longrightarrow t=raiz8454,9
Isso é uma equação do tipo , com e .
Resolvendo:

Passo 3

Calculemos numericamente:
8454,9approx172,45 Longrightarrow trm impactoapproxraiz172,45approx13,13 s

Passo 4

Agora a gente sabe em que instante bate no chão. Para achar a velocidade basta derivar vec v(t)=dvec rdt =ddtl(60t,vecimath+(845-4,9t^2),vecjmathr) =60,vecimath+(-9,8t),vecjmath :
Aqui, usei que a derivada de é 60 e a de é .

Passo 5

Basta agora avaliar em vx(13,13)=60 m/s, vy(13,13)=-9,8times13,13approx-128,7 m/s  s:
O sinal negativo em mostra que o pacote está descendo.

Resposta

v_x ≈ 60 m/s
v_y ≈ –128,7 m/s

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