Uma avião voa horizontalmente a uma altitude de 4 km , a 505 km / h, e passa diretamente sobre uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância entre o avião e a estação aumenta quando ele está a 5 km além da estação.
Resposta: square

Passo 1

O enunciado nos diz que um avião voa horizontalmente a uma altitude constante de 4 km com velocidade de 505 km/h e passa exatamente sobre uma estação de radar. Queremos saber a que taxa a distância entre o avião e a estação aumenta quando o avião já está a 5 km de distância horizontal da estação. O conteúdo aqui é taxas relacionadas, usando a relação de Pitágoras.

Passo 2

Definimos as variáveis:
x(t): distância horizontal do avião à estação (em km),
y: altitude constante, y=4 km,
s(t): distância direta (reta) do avião à estação (em km).
Sabemos que dot x = dxdt=505 km/h e queremos dot s = dsdt quando x=5 km.

Passo 3

Como x, y e s formam um triângulo retângulo, vale a relação de Pitágoras:
s^2 = x^2 + y^2

Passo 4

Derivando em relação ao tempo t, obtemos
2s,dot s = 2x,dot x
Dividindo por 2s,
dot s = xs,dot x

Passo 5

No instante em que x=5 km temos
s = raizx^2 + y^2 = raiz5^2 + 4^2 = raiz41 km
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dot s = 5raiz41times 505 = 2525raiz41 km/happrox 394,5 km/h

Resposta

dot s = 2525raiz41 km/happrox 394,5 km/h

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