Um avião voa horizontalmente com velocidade constante de
a uma altura de 490 m . A sua frente e no solo, um veículo se move com velocidade constante de 90
. Num dado momento o avião larga uma carga, com o propósito de atingir o veículo com esta carga. A que distância horizontal deve estar o avião do veículo, se este se mover:
no mesmo sentido do avião
no mesmo sentido do avião
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede uma distância horizontal entre o avião e o veículo no instante em que o avião solta a carga, para que a carga atinja o veículo quando este se move no mesmo sentido do avião.
Dados fornecidos:
- altura do avião:
. - velocidade do avião:
. - velocidade do veículo:
. - o avião solta a carga com a intenção de fazê-la atingir o veículo.
- Pedem: a que distância horizontal deve estar o avião do veículo (no instante da soltura), no caso em que o veículo se move no mesmo sentido do avião.
Observação: não temos outras forças relevantes indicadas (por exemplo resistência do ar), então vamos assumir que a carga, após solta, tem velocidade horizontal constante igual à do avião no instante da soltura e cai verticalmente sob a aceleração da gravidade
.
Passo 2
Vamos primeiro transformar as velocidades para unidades compatíveis com a altura (metros e segundos), pois usaremos equações do movimento com
em
.
Fator de conversão:
.
Converter as velocidades:
Anotação das variáveis que usaremos:
-
(altura inicial). -
(velocidade horizontal inicial da carga = velocidade do avião). -
(velocidade do veículo). -
(aceleração da gravidade, aproximada). -
= tempo de queda da carga. -
= distância horizontal inicial entre avião e veículo (positivo se o avião estiver à frente do veículo, negativo se estiver atrás).
Passo 3
Calcular o tempo de queda
usando o movimento vertical. A equação do deslocamento vertical quando a velocidade inicial vertical é zero é
onde:
-
é a distância vertical percorrida (aqui ), -
é a aceleração da gravidade, -
é o tempo de queda.
Isolando
:
Substituindo
e
:
Comentário didático: essa fórmula vem de integrar a aceleração constante
; como a velocidade vertical inicial é zero, a distância percorrida em tempo
é
. Aqui saiu um número simpático: a carga leva exatamente
para cair
.
Passo 4
Agora consideramos o movimento horizontal. Assumimos que não há aceleração horizontal (sem resistência do ar), então posições horizontais variam linearmente com o tempo.
Escolhemos uma origem tal que, no instante da soltura
, a posição do veículo é
e a posição do avião (e da carga no instante da soltura) é
. Então:
- posição da carga no instante
após a soltura:
- posição do veículo no instante
:
Condição de impacto: as posições horizontais coincidem quando a carga atinge o veículo:
Substituindo as expressões:
Isolando
:
Agora substituímos os valores
,
e
:
Interpretação do sinal: o resultado
significa que, com o nosso sinal (positividade = avião à frente), o avião deve estar 2250 metros atrás do veículo no instante da soltura. Em outras palavras, a distância absoluta entre avião e veículo deve ser
, com o avião localizado atrás do veículo.
Comentário físico e pedagógico: isso faz sentido se pensar que a carga, ao ser solta, tem velocidade horizontal igual à do avião (
), muito maior que a do carro (
), então para que a carga alcance o veículo durante a queda o avião precisa estar atrás do veículo quando soltar — assim a carga “alcança” o veículo durante os
de queda.
Passo 5
Resumo das suposições feitas (importante para a prova):
- desprezamos resistência do ar; por isso a velocidade horizontal da carga é constante e igual a
no instante da soltura. - usamos
. - tratámos movimento vertical e horizontal separadamente (movimentos independentes quando acelerações são separadas).
Essas hipóteses são padrão em exercícios de cinemática básica e permitem aplicar as fórmulas que usamos.
Resposta
O avião deve estar
atrás do veículo.