Um avião voa horizontalmente com velocidade constante de 900 \mathrm{~km} / \mathrm{h} a uma altura de 490 m . A sua frente e no solo, um veículo se move com velocidade constante de 90 \mathrm{km} / \mathrm{h}. Num dado momento o avião larga uma carga, com o propósito de atingir o veículo com esta carga. A que distância horizontal deve estar o avião do veículo, se este se mover:
no mesmo sentido do avião

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma distância horizontal entre o avião e o veículo no instante em que o avião solta a carga, para que a carga atinja o veículo quando este se move no mesmo sentido do avião.
Dados fornecidos:
  • altura do avião: \,490\\ \mathrm{m}.
  • velocidade do avião: \,900\\ \mathrm{km/h}.
  • velocidade do veículo: \,90\\ \mathrm{km/h}.
  • o avião solta a carga com a intenção de fazê-la atingir o veículo.
  • Pedem: a que distância horizontal deve estar o avião do veículo (no instante da soltura), no caso em que o veículo se move no mesmo sentido do avião.
Observação: não temos outras forças relevantes indicadas (por exemplo resistência do ar), então vamos assumir que a carga, após solta, tem velocidade horizontal constante igual à do avião no instante da soltura e cai verticalmente sob a aceleração da gravidade \,g.

Passo 2

Vamos primeiro transformar as velocidades para unidades compatíveis com a altura (metros e segundos), pois usaremos equações do movimento com g em \mathrm{m/s^2}.
Fator de conversão: \,1\\ \mathrm{km/h} = \frac{1000}{3600} = \frac{5}{18}\\ \mathrm{m/s}.
Converter as velocidades:
v_{\text{avião}} = 900\\ \mathrm{km/h} = 900\cdot\frac{5}{18}\\ \mathrm{m/s} = 250\\ \mathrm{m/s}.ã
v_{\text{veículo}} = 90\\ \mathrm{km/h} = 90\cdot\frac{5}{18}\\ \mathrm{m/s} = 25\\ \mathrm{m/s}.í
Anotação das variáveis que usaremos:
  • \,h=490\\ \mathrm{m} (altura inicial).
  • \,v_p=250\\ \mathrm{m/s} (velocidade horizontal inicial da carga = velocidade do avião).
  • \,v_v=25\\ \mathrm{m/s} (velocidade do veículo).
  • \,g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} (aceleração da gravidade, aproximada).
  • \,t = tempo de queda da carga.
  • \,D = x_{\text{avião}}(0)-x_{\text{veículo}}(0)ãí = distância horizontal inicial entre avião e veículo (positivo se o avião estiver à frente do veículo, negativo se estiver atrás).

Passo 3

Calcular o tempo de queda t usando o movimento vertical. A equação do deslocamento vertical quando a velocidade inicial vertical é zero é
h = \frac{1}{2}\,g\,t^{2},
onde:
  • h é a distância vertical percorrida (aqui \,490\\ \mathrm{m}),
  • g é a aceleração da gravidade,
  • t é o tempo de queda.
Isolando t:
t = \sqrt{\frac{2h}{g}}.
Substituindo h=490\\ \mathrm{m} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}:
t = \sqrt{\frac{2\cdot 490}{9{,}8}} = \sqrt{\frac{980}{9{,}8}} = \sqrt{100} = 10\\ \mathrm{s}.
Comentário didático: essa fórmula vem de integrar a aceleração constante g; como a velocidade vertical inicial é zero, a distância percorrida em tempo t é \tfrac12 g t^2. Aqui saiu um número simpático: a carga leva exatamente 10\\ \mathrm{s} para cair 490\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Agora consideramos o movimento horizontal. Assumimos que não há aceleração horizontal (sem resistência do ar), então posições horizontais variam linearmente com o tempo.
Escolhemos uma origem tal que, no instante da soltura t=0, a posição do veículo é x_{\text{veículo}}(0)=0í e a posição do avião (e da carga no instante da soltura) é x_{\text{avião}}(0)=Dã. Então:
  • posição da carga no instante t após a soltura:
x_{\text{carga}}(t) = D + v_p\,t.
  • posição do veículo no instante t:
x_{\text{veículo}}(t) = 0 + v_v\,t = v_v\,t.í
Condição de impacto: as posições horizontais coincidem quando a carga atinge o veículo:
x_{\text{carga}}(t) = x_{\text{veículo}}(t).í
Substituindo as expressões:
D + v_p\,t = v_v\,t.
Isolando D:
D = (v_v - v_p)\,t.
Agora substituímos os valores v_v=25\\ \mathrm{m/s}, v_p=250\\ \mathrm{m/s} e t=10\\ \mathrm{s}:
D = (25 - 250)\cdot 10 = (-225)\cdot 10 = -2250\\ \mathrm{m}.
Interpretação do sinal: o resultado D=-2250\\ \mathrm{m} significa que, com o nosso sinal (positividade = avião à frente), o avião deve estar 2250 metros atrás do veículo no instante da soltura. Em outras palavras, a distância absoluta entre avião e veículo deve ser 2250\\ \mathrm{m}, com o avião localizado atrás do veículo.
Comentário físico e pedagógico: isso faz sentido se pensar que a carga, ao ser solta, tem velocidade horizontal igual à do avião ( 250\\ \mathrm{m/s}), muito maior que a do carro ( 25\\ \mathrm{m/s}), então para que a carga alcance o veículo durante a queda o avião precisa estar atrás do veículo quando soltar — assim a carga “alcança” o veículo durante os 10\\ \mathrm{s} de queda.

Passo 5

Resumo das suposições feitas (importante para a prova):
  • desprezamos resistência do ar; por isso a velocidade horizontal da carga é constante e igual a v_p no instante da soltura.
  • usamos g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • tratámos movimento vertical e horizontal separadamente (movimentos independentes quando acelerações são separadas).
Essas hipóteses são padrão em exercícios de cinemática básica e permitem aplicar as fórmulas que usamos.

Resposta

O avião deve estar 2250\\ \mathrm{m} atrás do veículo.

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