Um avião está voando a uma altura de 750 metros em uma trajetória paralela ao chão a e está, inicialmente, a 2.5 km distante de uma estação de radar. A qual taxa está variando a distância do avião à estação inicialmente? E após 30 segundos do avião ter passado a estação?
Passo 1
O avião voa a uma altura constante de m e com velocidade horizontal de m/s em relação ao solo. Seja a distância horizontal entre o avião e a estação de radar e a distância oblíqua do avião à estação. Temos a relação geométrica
Passo 2
Diferenciando em relação ao tempo , usando que é constante,
Passo 3
Inicialmente o avião está a km m e aproxima-se, logo m/s. Primeiro calcule
Então
isto é, a distância está diminuindo a cerca de 303 m/s.
Passo 4
Trinta segundos após ter passado exatamente sobre a estação, a distância horizontal já é x=3000 m e agora o avião se afasta, logo dxdt=+100 m/s. Calculamos
s= raiz3000^2+750^2=raiz9,000,000+562,500=raiz9,562,500approx3092,3 m,
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dsdt =3000cdot1003092,3approx97,1 m/s,
ou seja, a distância está aumentando a cerca de 97 m/s.
Resposta
Inicialmente dsdtapprox -303 m/s.
Trinta segundos após passar a estação dsdtapprox +97 m/s.