Um avião está voando a uma altura de 750 metros em uma trajetória paralela ao chão a 100 m / s e está, inicialmente, a 2.5 km distante de uma estação de radar. A qual taxa está variando a distância do avião à estação inicialmente? E após 30 segundos do avião ter passado a estação?

Passo 1

O avião voa a uma altura constante de h=750 m e com velocidade horizontal de 100 m/s em relação ao solo. Seja x(t) a distância horizontal entre o avião e a estação de radar e s(t) a distância oblíqua do avião à estação. Temos a relação geométrica
s^2 = x^2 + h^2

Passo 2

Diferenciando em relação ao tempo t, usando que h é constante,
2s,dsdt ;=; 2x,dxdt Longrightarrow dsdt = xs,dxdt

Passo 3

Inicialmente o avião está a x=2,5 km =2500 m e aproxima-se, logo dxdt=-100 m/s. Primeiro calcule
s(0)=raiz2500^2+750^2=raiz6,250,000+562,500=raiz6,812,500approx825,49 m
Então
dsdt|inicial =2500cdot(-100)825,49approx -302,8 m/s,
isto é, a distância está diminuindo a cerca de 303 m/s.

Passo 4

Trinta segundos após ter passado exatamente sobre a estação, a distância horizontal já é x=3000 m e agora o avião se afasta, logo dxdt=+100 m/s. Calculamos
s= raiz3000^2+750^2=raiz9,000,000+562,500=raiz9,562,500approx3092,3 m,
logo
dsdt =3000cdot1003092,3approx97,1 m/s,
ou seja, a distância está aumentando a cerca de 97 m/s.

Resposta

  • Inicialmente dsdtapprox -303 m/s.
  • Trinta segundos após passar a estação dsdtapprox +97 m/s.

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