Faga as questóes abaixo de maneira organizada e legivel.
(1) (valor: 2,5 pts) Suponha que f: R R seja uma função contínua tal que
x sin (pi x)=integral0^x^* f(t) d t, forall x in R
Calcule f(4):

Passo 1

O enunciado afirma que existe uma função contínua f:RtoR tal que, para todo xinR,
integral0^x f(t),dt = xsin(pi x)
Queremos encontrar f(4). Para isso, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra do produto na diferenciação.

Passo 2

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo à função
F(x) = integral0^x f(t),dt
temos
F'(x) = f(x)
Como F(x)=xsin(pi x), podemos igualar
f(x) = ddxl[xsin(pi x)r]

Passo 3

Para derivar xsin(pi x) usamos a regra do produto:
ddx[xsin(pi x)] = 1cdotsin(pi x) + xcdotddx[sin(pi x)] = sin(pi x) + xl(picos(pi x)r)
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f(x) = sin(pi x) + pi xcos(pi x)

Passo 4

Agora basta avaliar em x=4:
sin(4pi) = 0, cos(4pi)=1,
f(4) = sin(4pi) + picdot4cdotcos(4pi) = 0 + 4picdot1 = 4pi

Resposta

f(4)=4pi.

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