Faga as questóes abaixo de maneira organizada e legivel.
(3) (valor: 2.5 pts ) Calcule as integrais abaixo:
(a) integral1^1 / 2 cos ^-1(x) d x
Dica: Olhe para dd x[x cos ^-1(x)].

Passo 1

Recapitulando o enunciado, precisamos calcular a integral definida
integral1^1/2 cos^-1(x),dx
O método sugerido é usar integração por partes, observando a derivada de xcos^-1(x).

Passo 2

Vamos achar essa derivada:
ddxl[xcos^-1(x)r] = cos^-1(x) + xcdotddx[cos^-1(x)] = cos^-1(x) - xraiz1-x^2
Isolando cos^-1(x), vem
cos^-1(x) = ddx[,xcos^-1(x),] + xraiz1-x^2

Passo 3

Integramos em relação a x:
integral cos^-1(x),dx = integral ddx[,xcos^-1(x),],dx + integral xraiz1-x^2,dx = xcos^-1(x) + integral xraiz1-x^2,dx
Para
integral xraiz1-x^2,dx, faça u=1-x^2, du=-2x,dx, obtendo
integral xraiz1-x^2,dx = -raiz1-x^2
Assim, um antiderivado é
F(x) = xcos^-1(x) - raiz1-x^2

Passo 4

Agora avaliamo-la de 1 a 1/2:
integral1^1/2 cos^-1(x),dx = Fl(tfrac12r) - F(1)
Sabendo que cos^-1(1)=0, raiz1-1^2=0, cos^-1(tfrac12)=tfracpi3 e raiz1-(1/2)^2=tfracraiz32, temos
Fl(tfrac12r) = 12cdotpi3 - raiz32 = pi6 - raiz32, F(1)=0
Logo,
integral1^1/2 cos^-1(x),dx = pi6 - raiz32

Resposta

pi6 - raiz32

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