Se de material estiverem disponíveis para fabricar uma caixa fechada de base circular, calcule o volume máximo da caixa.
Passo 1
O enunciado pede para maximizar o volume de uma caixa fechada com base circular (isto é, um cilindro com tampa e fundo) quando temos disponível área de material fixa de ,cm. O conteúdo é otimização de função sob restrição (usando derivadas). Vamos definir as variáveis e traduzir a restrição de área.
Passo 2
Seja o raio da base e a altura do cilindro. A área total de superfície de uma caixa fechada com base circular é
sendo a área do topo mais o fundo e a área lateral. A restrição de material diz
Dividindo ambos os lados por , obtemos
Passo 3
Da equação isolamos em função de :
Passo 4
O volume do cilindro é
Substituindo , vem
Passo 5
Para achar o máximo, derivamos em relação a e igualamos a zero: