Se 1200 pi cm^2 de material estiverem disponíveis para fabricar uma caixa fechada de base circular, calcule o volume máximo da caixa.

Passo 1

O enunciado pede para maximizar o volume de uma caixa fechada com base circular (isto é, um cilindro com tampa e fundo) quando temos disponível área de material fixa de 1200pi,cm ^2. O conteúdo é otimização de função sob restrição (usando derivadas). Vamos definir as variáveis e traduzir a restrição de área.

Passo 2

Seja r o raio da base e h a altura do cilindro. A área total de superfície de uma caixa fechada com base circular é
2pi r^2 ;+; 2pi r,h
sendo 2pi r^2 a área do topo mais o fundo e 2pi r,h a área lateral. A restrição de material diz
2pi r^2 + 2pi r,h = 1200pi
Dividindo ambos os lados por pi, obtemos
2r^2 + 2r,h = 1200 Longrightarrow r^2 + r,h = 600

Passo 3

Da equação r^2 + r,h = 600 isolamos h em função de r:
r,h = 600 - r^2 Longrightarrow h = 600 - r^2r = 600r - r

Passo 4

O volume do cilindro é
V = pi r^2 h
Substituindo h = tfrac600r - r, vem
V(r) = pi r^2l(600r - rr) = pil(600r - r^3r)

Passo 5

Para achar o máximo, derivamos V(r) em relação a r e igualamos a zero:
V'(r) = pil(600 - 3r^2r) Longrightarrow 600 - 3r^2 = 0 Longrightarrow r^2 = 200 Longrightarrow r = 10raiz2
Verificamos que V''(r) = pi(-6r)|r=10raiz2<0, confirmando máximo.

Passo 6

Com r = 10raiz2, a altura é
h = 60010raiz2 - 10raiz2 = 60raiz2 - 10raiz2 = 30raiz2 - 10raiz2 = 20raiz2
Então o volume máximo é
Vmax = pi,r^2,h = pi,(10raiz2)^2,(20raiz2) = picdot 200cdot 20raiz2 = 4000raiz2,pi

Resposta

O volume máximo é 4000raiz2,pi cm ^3.

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