Em um aviário foi observada a distribuição dos frangos com relação ao peso apresentado conforme a tabela a seguir:
Peso (kg) | [0.96-0.98[ | [0.98-1.00 [ | [1.00-1.02[ | [1.02-1.04[ | [1.04-1.06[ | [1.06-1.08[ |
---|---|---|---|---|---|---|
|
60 | 160 | 280 | 260 | 160 | 80 |
O proprietário decide separar deste lote os animais com peso inferior a um desvio padrão abaixo da média para receberem ração reforçada e também separar os animais com peso superior a 3/4 desvios padrões acima da média para usá-los como reprodutores. Qual a percentagem de animais que serão separados em cada caso?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a distribuição de pesos dos frangos em um aviário. A gente vai usar conceitos de estatística, como média e desvio padrão, pra descobrir a porcentagem de frangos que têm peso abaixo de um desvio padrão da média e acima de três quartos de desvio padrão da média. Pra resolver isso, a gente vai precisar calcular a média, o desvio padrão e depois usar esses valores pra encontrar as porcentagens pedidos.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados. Temos intervalos de peso e a quantidade de frangos em cada intervalo:
Peso (kg) | [0.96-0.98[ | [0.98-1.00[ | [1.00-1.02[ | [1.02-1.04[ | [1.04-1.06[ | [1.06-1.08[ |
---|---|---|---|---|---|---|
Número de frangos | 60 | 160 | 280 | 260 | 160 | 80 |
Passo 3
Vamos calcular a média dos pesos dos frangos. Para isso, usamos a fórmula da média ponderada, onde multiplicamos o ponto médio de cada intervalo pela quantidade de frangos nesse intervalo, somamos tudo e dividimos pelo total de frangos.
Primeiro, encontramos o ponto médio de cada intervalo:
- [0.96-0.98[ → (0.96 + 0.98)/2 = 0.97 kg
- [0.98-1.00[ → (0.98 + 1.00)/2 = 0.99 kg
- [1.00-1.02[ → (1.00 + 1.02)/2 = 1.01 kg
- [1.02-1.04[ → (1.02 + 1.04)/2 = 1.03 kg
- [1.04-1.06[ → (1.04 + 1.06)/2 = 1.05 kg
- [1.06-1.08[ → (1.06 + 1.08)/2 = 1.07 kg
Agora, multiplicamos cada ponto médio pela quantidade de frangos:
- 0.97 kg × 60 = 58.2
- 0.99 kg × 160 = 158.4
- 1.01 kg × 280 = 282.8
- 1.03 kg × 260 = 267.8
- 1.05 kg × 160 = 168
- 1.07 kg × 80 = 85.6
Somamos todos esses valores:
58.2 + 158.4 + 282.8 + 267.8 + 168 + 85.6 = 1020.8
Agora, somamos o total de frangos:
60 + 160 + 280 + 260 + 160 + 80 = 1000
Então, a média é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o desvio padrão, que mede a variação dos pesos em relação à média. Usamos a fórmula do desvio padrão para dados agrupados:
Onde:
- $ f_i $ é a frequência de cada intervalo
- $ x_i $ é o ponto médio de cada intervalo
- $ \mu $ é a média
- $ N $ é o total de frangos
Primeiro, calculamos $ (x_i - \mu)^2 $ para cada intervalo:
- (0.97 - 1.0208)² ≈ ( -0.0508)² ≈ 0.00258
- (0.99 - 1.0208)² ≈ ( -0.0308)² ≈ 0.00095
- (1.01 - 1.0208)² ≈ ( -0.0108)² ≈ 0.00012
- (1.03 - 1.0208)² ≈ ( 0.0092)² ≈ 0.00008
- (1.05 - 1.0208)² ≈ ( 0.0292)² ≈ 0.00085
- (1.07 - 1.0208)² ≈ ( 0.0492)² ≈ 0.00242
Agora, multiplicamos cada $ (x_i - \mu)^2 $ pela frequência $ f_i $:
- 0.00258 × 60 ≈ 0.1548
- 0.00095 × 160 ≈ 0.152
- 0.00012 × 280 ≈ 0.0336
- 0.00008 × 260 ≈ 0.0208
- 0.00085 × 160 ≈ 0.136
- 0.00242 × 80 ≈ 0.1936
Somamos tudo:
0.1548 + 0.152 + 0.0336 + 0.0208 + 0.136 + 0.1936 ≈ 0.6908
Agora, dividimos pela quantidade total de frangos ($ N = 1000 $):
Passo 5
Com a média ($ \mu = 1.0208 $ kg) e o desvio padrão ($ \sigma ≈ 0.0263 $ kg) calculados, vamos encontrar os pesos de corte:
- Inferior a um desvio padrão abaixo da média:
- Superior a três quartos de desvio padrão acima da média:
Passo 6
Agora, vamos determinar quantos frangos estão abaixo de 0.9945 kg e acima de 1.0405 kg.
Olhando para os intervalos:
- Abaixo de 0.9945 kg: O limite é 0.9945 kg, então consideramos os frangos no intervalo [0.96-0.98[ e parte de [0.98-1.00[.
Primeiro, os frangos em [0.96-0.98[ são totalmente abaixo: 60 frangos.
No intervalo [0.98-1.00[, o limite é 0.9945 kg, que está a 0.0055 kg acima de 0.98 kg. A largura do intervalo é 0.02 kg, então a fração abaixo é 0.0055 / 0.02 ≈ 0.275.
Então, no intervalo [0.98-1.00[, temos 160 × 0.275 ≈ 44 frangos abaixo de 0.9945 kg.
Total de frangos abaixo de 0.9945 kg: 60 + 44 = 104 frangos.
- Acima de 1.0405 kg: O limite é 1.0405 kg, então consideramos parte de [1.04-1.06[ e [1.06-1.08[.
No intervalo [1.04-1.06[, o limite é 1.0405 kg, que está 0.0005 kg acima de 1.04 kg. A largura do intervalo é 0.02 kg, então a fração acima é 0.0005 / 0.02 ≈ 0.025.
Então, no intervalo [1.04-1.06[, temos 160 × 0.025 ≈ 4 frangos acima de 1.0405 kg.
No intervalo [1.06-1.08[, todos os frangos estão acima de 1.0405 kg: 80 frangos.
Total de frangos acima de 1.0405 kg: 4 + 80 = 84 frangos.
Resposta
Então, aproximadamente 10,4% dos frangos serão separados para receber ração reforçada (abaixo de um desvio padrão da média) e cerca de 8,4% serão separados para uso como reprodutores (acima de três quartos de desvio padrão da média).