Exercício. Assuma que a variável aleatória
é tal que
, ou seja,
segue uma distribuição Normal com média 0 e desviopadrão 1. Calcule:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma variável aleatória $ Z $ que segue uma distribuição Normal padrão, ou seja, com média 0 e desvio padrão 1 ($ Z \sim N(0,1) $). O exercício quer que a gente calcule a probabilidade de $ Z $ estar entre -2 e 1.5, representado por $ \mathrm{P}(-2 < Z < 1.5) $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma distribuição Normal padrão. Ela é aquela em que os valores estão distribuídos de forma simétrica em torno da média (que aqui é 0), e sabemos que aproximadamente 68% dos valores ficam dentro de um desvio padrão da média, 95% dentro de dois desvios, e assim por diante.
Passo 3
Para calcular $ \mathrm{P}(-2 < Z < 1.5) $, vamos usar a tabela da distribuição Normal padrão ou uma ferramenta que nos dê as probabilidades acumuladas. A ideia é encontrar a probabilidade de $ Z $ ser menor que 1.5 e subtrair a probabilidade de $ Z $ ser menor que -2.
Passo 4
Vamos encontrar $ \mathrm{P}(Z < 1.5) $. Usando a tabela, descobrimos que $ \mathrm{P}(Z < 1.5) $ é aproximadamente 0,9332. Isso significa que há 93,32% de chance de $ Z $ ser menor que 1,5.
Passo 5
Agora, vamos encontrar $ \mathrm{P}(Z < -2) $. Consultando a tabela, vemos que $ \mathrm{P}(Z < -2) $ é cerca de 0,0228. Ou seja, há 2,28% de chance de $ Z $ ser menor que -2.
Passo 6
Finalmente, para achar a probabilidade de $ Z $ estar entre -2 e 1,5, subtraímos as duas probabilidades encontradas:
Resposta
A probabilidade $ \mathrm{P}(-2 < Z < 1.5) $ é aproximadamente 0,9104 ou 91,04%.