Exercício. Assuma que a variável aleatória Z é tal que Z sim N(0,1), ou seja, Z segue uma distribuição Normal com média 0 e desviopadrão 1. Calcule:
P(-1.5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a probabilidade de que uma variável aleatória Z, que segue uma distribuição Normal com média 0 e desvio padrão 1 (ou seja, Z sim N(0,1)), esteja entre -1.5 e 2. Basicamente, queremos saber P(-1.5 < Z < 2). Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição Normal padrão e usar a tabela da distribuição normal ou uma calculadora que nos dê essas probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distribuição Normal padrão, N(0,1), é simétrica em torno da média, que aqui é 0. O desvio padrão é 1, o que nos ajuda a medir o quanto os valores se afastam da média. A probabilidade P(a < Z < b) para uma variável Normal padrão pode ser encontrada usando a função de distribuição acumulada (CDF), que nos dá a área sob a curva da distribuição entre -infty e um certo ponto.

Passo 3

Para calcular P(-1.5 < Z < 2), podemos usar a propriedade da simetria da distribuição Normal. A probabilidade de Z ser menor que 2 é dada por P(Z < 2), e a probabilidade de Z ser menor que -1.5 é P(Z < -1.5). Então, a probabilidade que queremos é:
P(-1.5 < Z < 2) = P(Z < 2) - P(Z < -1.5)

Passo 4

Agora, vamos encontrar esses valores usando a tabela da distribuição Normal padrão ou uma calculadora:
  • P(Z < 2) approx 0.9772
  • P(Z < -1.5) approx 0.0668

Passo 5

Substituindo esses valores na nossa equação:
P(-1.5 < Z < 2) = 0.9772 - 0.0668 = 0.9104

Resposta

A probabilidade de que Z esteja entre -1.5 e 2 é aproximadamente 0.9104 ou 91.04%.

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