1. a) lim (x, y) (0,0) 3x^2+2 y^2
    b) lim (x, y) (0,0) x-yx^2+y^2
  2. a) lim (x, y) (0,0) x+y2 x^2+y^2
    b) lim (x, y) (0,0) cos x yx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede limites de funções de duas variáveis em (0,0). Vamos usar conceitos de limites multivariáveis: verificar se a função tende a um mesmo valor por qualquer trajetória de aproximação, ou se diverge para pminfty, ou se não existe limite.

Passo 2

Para 7a) temos
3x^2+2y^2
Como x^2+2y^2to0^+ quando (x,y)to(0,0) e o numerador é constante 3>0, o quociente tende a +infty por qualquer trajetória.

Passo 3

Para 7b) analisamos
x-yx^2+y^2
Pela reta y=x o numerador é x-x=0 e o denominador 2x^2, dando limite 0.
Pela reta y=-x o numerador é x-(-x)=2x e o denominador 2x^2, dando
2x2x^2=1x,
que diverge quando xto0. Como há trajetórias com limites diferentes, não existe limite.

Passo 4

Para 8a) estudamos
x+y2x^2+y^2
Na reta y=mx
x+mx2x^2+m^2x^2 =(1+m)x(2+m^2)x^2 =1+m2+m^2,1x,
que diverge para pminfty conforme xto0 (depende do sinal de 1+m). Logo o limite não existe.

Passo 5

Para 8b) temos
cos(xy)x^2+y^2
Como cos(xy)tocos0=1 e x^2+y^2to0^+, o quociente se comporta como 1/(x^2+y^2)to+infty. Portanto diverge para +infty.

Resposta

7a) lim(x,y)to(0,0)3x^2+2y^2=+infty.
7b) lim(x,y)to(0,0)x-yx^2+y^2 não existe.
8a) lim(x,y)to(0,0)x+y2x^2+y^2 não existe.
8b) lim(x,y)to(0,0)cos(xy)x^2+y^2=+infty.

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