1-5. Use uma forma apropriada da regra da cadeia para determinar partial z / partial t (pág. 975 - Cálculo - Howard Anton Vol. III):
  1. z=3 x^2 y^3 ; x=t^4, y=t^2
  2. z=ln (2 x^2+y) ; x=raizt, y=raiz[3]t^2
  3. z=3 cos x-sen x y ; x=1t, y=3 t
  4. z=raiz1+x-2 x y^4 ; x=ln t, y=t
  5. z=e^1-x y ; x=raiz[3]t, y=t^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular partial zpartial t em cinco casos diferentes, usando a regra da cadeia para uma função z(x,y) em que x e y dependem de t. Vamos lembrar que
dzdt =partial zpartial x,dxdt +partial zpartial y,dydt

Passo 2

Caso 1: z=3x^2y^3, x=t^4, y=t^2.
Calculamos
zx=6x,y^3, zy=9x^2y^2,
dxdt=4t^3, dydt=2t
Substituindo x=t^4, y=t^2:
zx=6t^4cdot t^6=6t^10, zy=9t^8cdot t^4=9t^12
Logo
dzdt =6t^10cdot4t^3+9t^12cdot2t =24t^13+18t^13=42t^13

Passo 3

Caso 2: z=lnl(2x^2+yr), x=raizt, y=t^2/3.
zx=4x2x^2+y, zy=12x^2+y,
dxdt=12raizt, dydt=23t^-1/3
Então
dzdt =4x2x^2+y,12raizt +12x^2+y,23t^-1/3 =12t + t^2/3 l(2+tfrac23t^-1/3r)

Passo 4

Caso 3: z=3cos x -(sen x),y, x=1/t, y=3t.
zx=-3sen x - ycos x, zy=-sen x,
dxdt=-1t^2, dydt=3
Substituindo x=1/t, y=3t:
dzdt =(-3sentfrac1t -3tcostfrac1t)l(-tfrac1t^2r) +(-sentfrac1t),3 =3sentfrac1tl(tfrac1t^2-1r)+3tcostfrac1t

Passo 5

Caso 4: z=raiz,1+x-2x y^4,, x=ln t, y=t.
Escrevemos z=(1+x-2x y^4)^1/2, então
zx=1-2y^42raiz1+x-2x y^4, zy=-8xy^32raiz1+x-2x y^4,
dxdt=1t, dydt=1
Logo
dzdt =1-2t^42traiz1+ln t-2(ln t),t^4 -4(ln t),t^3raiz1+ln t-2(ln t),t^4

Passo 6

Caso 5: z=e^,1-xy, x=t^1/3, y=t^3.
zx=-y,e^1-xy, zy=-x,e^1-xy,
dxdt=tfrac13t^-2/3, dydt=3t^2
Substituindo x=t^1/3, y=t^3:
dzdt =-e^1-t^10/3l(t^3cdottfrac13t^-2/3 + t^1/3cdot3t^2r) =-103,t^7/3,e^1-t^10/3

Resposta

  1. dzdt=42,t^13
  2. dzdt =12t + t^2/3l(2+tfrac23t^-1/3r)
  3. dzdt =3sentfrac1tl(tfrac1t^2-1r)+3tcostfrac1t
  4. dzdt =1-2t^42traiz1+ln t-2(ln t),t^4 -4(ln t),t^3raiz1+ln t-2(ln t),t^4
  5. dzdt =-103,t^7/3,e^1-t^10/3

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