Calcular, por dupla integração, a área da região acima do eixo x, limitada pela parábola semi-cúbica y^2=x^3 e a reta y=x,
(b) integrando primeiro em relação a y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região acima do eixo x limitada pela parábola semicúbica y^2 = x^3 e pela reta y = x, usando dupla integração e integrando primeiro em relação a y. Vamos precisar achar os pontos de interseção, entender a forma da região e montar a integral dupla adequada.

Passo 2

Primeiro, encontramos os pontos de interseção das curvas. Igualando y^2 = x^3 e y = x temos
x^2(x - 1) = 0 implies x = 0 ou x = 1,
e como y = x, isso dá y = 0 ou y = 1. Logo a região está entre y = 0 e y = 1.

Passo 3

Para cada y em [0,1], a abscissa na reta é x = y e na parábola é x = y^2/3. Como, para 0 < y < 1, vale y < y^2/3, os limites de x vão de x = y (esquerda) até x = y^2/3 (direita). Portanto a área é
A = integraly=0^1 l(integralx=y^y^2/3 1 ;dxr) dy = integral0^1 l(y^2/3 - yr) dy

Passo 4

Agora calculamos a integral em y. Separamos:
integral0^1 y^2/3 ,dy = l[tfrac35 y^5/3r]0^1 = tfrac35,
integral0^1 y ,dy = l[tfrac12y^2r]0^1 = tfrac12

Passo 5

Subtraindo, obtemos
A = tfrac35 - tfrac12 = tfrac610 - tfrac510 = tfrac110

Resposta

A = tfrac110

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