Em cada caso, use a mudança de variáveis indicada para calcular a integral dupla dada.
(a)
é o triângulo com vértices em
.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
no triângulo
de vértices
,
e
, usando a mudança de variáveis
O conteúdo aqui é mudança de variáveis em integrais duplas, que envolve achar o novo domínio em
e o jacobiano.
Passo 2
Primeiro identificamos
em termos de
e
. Como
é o triângulo com
e
, ao fazermos
vemos que
varia de
a
e
varia de
a
. Logo o novo domínio é
Passo 3
Calculamos o jacobiano da transformação
. Tem-se
Como
, temos
.
Passo 4
Transformamos a função integranda. Temos
Multiplicando pelo jacobiano, o integrando vira
Passo 5
A integral original se torna
Como o integrando separa, fazemos
Calculemos cada uma:
Multiplicando, obtemos