Em cada caso, use a mudança de variáveis indicada para calcular a integral dupla dada.
(a) integral duplaR raizx+yx, x=u, y=u v, R é o triângulo com vértices em (0,0),(4,0),(4,4).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR raizx+yx,dx,dy
no triângulo R de vértices (0,0), (4,0) e (4,4), usando a mudança de variáveis
x = u, y = u,v
O conteúdo aqui é mudança de variáveis em integrais duplas, que envolve achar o novo domínio em (u,v) e o jacobiano.

Passo 2

Primeiro identificamos R em termos de x e y. Como R é o triângulo com 0<= x<=4 e 0<= y<= x, ao fazermos
x=u, y=u,v
vemos que u=x varia de 0 a 4 e v=y/u varia de 0 a 1. Logo o novo domínio é
0<= u<=4, 0<= v<=1

Passo 3

Calculamos o jacobiano da transformação (u,v)mapsto(x,y). Tem-se
partial(x,y)partial(u,v) =det partial xpartial u&partial xpartial v partial ypartial u&partial ypartial v =det 1&0 v&u =u
Como u>=0, temos dx,dy = u,du,dv.

Passo 4

Transformamos a função integranda. Temos
raizx+yx =raizu+u,vu =raizu(1+v)u =u^-tfrac12raiz1+v
Multiplicando pelo jacobiano, o integrando vira
u^-tfrac12raiz1+v;times u =u^tfrac12raiz1+v

Passo 5

A integral original se torna
integral duplaRraizx+yx,dx,dy =integralu=0^4!integralv=0^1 u^tfrac12raiz1+v,dv,du
Como o integrando separa, fazemos
integral0^4u^tfrac12du ;times; integral0^1raiz1+v,dv
Calculemos cada uma:
integral0^4u^tfrac12du =gl[tfracu^tfrac32tfrac32gr]0^4 =23,4^tfrac32 =23times8 =163,
integral0^1raiz1+v,dv =integral1^2t^tfrac12dt =gl[tfrac23t^tfrac32gr]1^2 =23l(2^tfrac32-1r) =23l(2raiz2-1r)
Multiplicando, obtemos
163times23(2raiz2-1) =329(2raiz2-1) =64raiz2-329

Resposta

integral duplaRraizx+yx,dx,dy =64raiz2-329

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