I. (ITA) A equação |x|+|y|+|z|=1 representa, no espaço de coordenadas (x, y, z) in R^3.
a) uma esfera centrada na origem
b) um cubo centrado na origem com faces perpendiculares aos eixos cartesianos
c) um cubo centrado na origem com faces inclinadas em relação aos eixos cartesianos
d) um octaedro centrado na origem
e) nenhuma resposta está correta.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no enunciado: a equação |x| + |y| + |z| = 1 está no espaço tridimensional (x, y, z) in R^3. Nosso objetivo é identificar qual figura geométrica essa equação representa. Para resolver isso, vamos precisar entender como as equações com valor absoluto afetam a forma das figuras no espaço 3D.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação |x| + |y| + |z| = 1 . Os valores absolutos nos indicam que a equação considera todas as combinações positivas e negativas de x , y e z . Isso implica que a figura será simétrica em relação aos três eixos coordenados.

Passo 3

Vamos considerar os casos em que uma das variáveis é zero para simplificar:
  • Se x = 0 , a equação se torna |y| + |z| = 1 , que representa um quadrado no plano yz com lados inclinados.
  • Se y = 0 , temos |x| + |z| = 1 , outro quadrado no plano xz .
  • Se z = 0 , temos |x| + |y| = 1 , um quadrado no plano xy .

Passo 4

Agora, vamos pensar em como essas informações se combinam no espaço 3D. Cada um desses quadrados está em um plano diferente, e juntos formam uma forma geométrica com 8 faces triangulares, onde cada face é formada por encontros dessas interseções.

Passo 5

Essa forma geométrica com 8 faces triangulares é conhecida como octaedro. Um octaedro é uma das figuras platônicas e é centrado na origem, assim como a equação dada.

Resposta

d) um octaedro centrado na origem

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