(a) lim (x, y) (0,0) 2^-1x^2 cos (xx+y)
(b) lim (x, y) (1,1) x-1raiz(x-1)^2+(y-1)^2

Passo 1

O enunciado pede dois limites de funções de duas variáveis. No item (a) vamos usar que a base 2 elevada a um expoente que tende a -infty vai a zero e que o cosseno é limitado em [-1,1], aplicando o teorema do sanduíche. No item (b) vamos ver que o valor do quociente depende da direção pela qual (x,y) se aproxima de (1,1), mostrando assim que não há limite único.

Passo 2

Para
lim(x,y)to(0,0)2^-1x^2cos!l(xx+yr),
observe que para todo (x,y) com xneq0 vale
-1<= cos!l(xx+yr)<=1
e também
2^-1x^2>0
Logo
-,2^-1x^2<= 2^-1x^2cos!l(xx+yr)<= 2^-1x^2
Como limxto02^-1/x^2=0, pelo teorema do sanduíche segue que
lim(x,y)to(0,0)2^-1x^2cos!l(xx+yr)=0

Passo 3

Para
lim(x,y)to(1,1)x-1raiz(x-1)^2+(y-1)^2,
use caminhos do tipo y-1=m(x-1). Então
(x-1)^2+(y-1)^2=(x-1)^2l(1+m^2r)
e o quociente fica
x-1raiz(x-1)^2+(y-1)^2 =x-1|x-1|raiz1+m^2 =sgn(x-1)raiz1+m^2
Escolhendo, por exemplo, m=0 (aproximação ao longo de y=1) dá limite 1, enquanto x=1 (aproximação vertical) dá limite 0. Como o valor depende de m, não existe limite.

Resposta

(a) 0
(b) não existe.

Exercícios relacionados