(a)
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede dois limites de funções de duas variáveis. No item (a) vamos usar que a base
elevada a um expoente que tende a
vai a zero e que o cosseno é limitado em
, aplicando o teorema do sanduíche. No item (b) vamos ver que o valor do quociente depende da direção pela qual
se aproxima de
, mostrando assim que não há limite único.
Passo 2
Para
observe que para todo
com
vale
e também
Logo
Como
, pelo teorema do sanduíche segue que
Passo 3
Para
use caminhos do tipo
. Então
e o quociente fica
Escolhendo, por exemplo,
(aproximação ao longo de
) dá limite
, enquanto
(aproximação vertical) dá limite
. Como o valor depende de
, não existe limite.
Resposta
(a)
(b) não existe.
(b) não existe.