Encontre a derivada das seguintes funções:
(t) f(x)=tgh(sen(x))

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função f(x) = tgh(sen(x)) . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções compostas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função composta. Aqui, temos uma função externa tgh(u) onde u = sen(x) . A regra da cadeia nos diz que a derivada de f(x) = fexterna(finterna(x)) é:
f'(x) = f'externa(finterna(x)) cdot f'interna(x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da função externa tgh(u) . Sabemos que:
ddu tgh(u) = 1 - tgh^2(u)
Isso significa que a derivada da tangente hiperbólica de u é igual a 1 - tgh^2(u) .

Passo 4

Em seguida, vamos derivar a função interna u = sen(x) . A derivada de sen(x) é:
dudx = cos(x)

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, juntamos as duas derivadas que encontramos:
f'(x) = (1 - tgh^2(sen(x))) cdot cos(x)

Resposta

A derivada de f(x) = tgh(sen(x)) é:
f'(x) = (1 - tgh^2(sen(x))) cdot cos(x)

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