(a) f(x)=x^2, 0<x<2 pi ; f(x+2 pi)=f(x).
(b) f(x)=x(x^2-1), 0<x<2 ; f(x+2)=f(x).

Passo 1

A gente quer expandir em séries de Fourier duas funções periódicas:
(a) f(x)=x^2 em 0<x<2pi com período 2pi.
(b) f(x)=x(x^2-1) em 0<x<2 com período 2.
Para cada caso usaremos as fórmulas clássicas de coeficientes:
– período 2pi:
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancos(nx)+bnsin(nx)r),
com
a0=1piintegral0^2pif(x),dx, an=1piintegral0^2pif(x)cos(nx),dx, bn=1piintegral0^2pif(x)sin(nx),dx
– período 2 (ou seja L=1):
f(x)=a02+sumn=1^inftyl(ancos(npi x)+bnsin(npi x)r),
com
a0=integral0^2f(x),dx, an=integral0^2f(x)cos(npi x),dx, bn=integral0^2f(x)sin(npi x),dx

Passo 2

Cálculos para (a).
integral0^2pix^2,dx=(2pi)^33,
integral0^2pix^2cos(nx),dx =4pin^2, integral0^2pix^2sin(nx),dx =-4pi^2n
Logo
a0=1picdot8pi^33=8pi^23, an=1picdot4pin^2=4n^2, bn=1picdotl(-4pi^2nr)=-4pin

Passo 3

Substituindo em
f(x)=a02+sumn=1^infty(ancos nx+bnsin nx)
vem
x^2 =4pi^23 +sumn=1^inftyl(4n^2cos(nx)-4pinsin(nx)r)

Passo 4

Cálculos para (b). Primeiro
a0=integral0^2l(x^3-xr),dx =l[x^44-x^22r]0^2 =2
Para an e bn é prático centrar o intervalo em zero: faça t=x-1, então tin[-1,1] e
g(t)=(t+1)l((t+1)^2-1r)=t^3+3t^2+2t
Como
cos(npi(x))=cos(npi(t+1))=(-1)^ncos(npi t)
e
sin(npi x)=(-1)^nsin(npi t),
separa-se a parte par/ímpar de g(t) e aplica-se as integrais conhecidas, chegando a
an=12n^2pi^2, bn=-6npi+12n^3pi^3

Passo 5

Finalmente a série de Fourier de f(x)=x(x^2-1) com período 2 é
f(x) =a02 +sumn=1^inftyl(ancos(npi x)+bnsin(npi x)r) =1 +sumn=1^inftyl(12n^2pi^2cos(npi x) +l(12n^3pi^3-6npir)sin(npi x)r)

Resposta

(a) x^2=4pi^23 +sumn=1^inftyl(4n^2cos(nx)-4pinsin(nx)r)
(b) x(x^2-1) =1 +sumn=1^inftyl(12n^2pi^2cos(npi x) +l(12n^3pi^3-6npir)sin(npi x)r)

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