Seja D=(u, v) mid u^2+v^2 <= 1, u >= 0, v >= 0 e r(u, v)=(u+v, u-v, u v).
Encontre o valor de integral duplaS F cdot d S, onde F=x i+y j+z k.

Passo 1

O enunciado dá a superfície S parametrizada por
r(u,v) = (x,y,z) = (u+v,;u-v,;u,v)
em (u,v) pertencentes a
D = (u,v)mid u^2+v^2<=1,;u>=0,;v>=0,
e pede
integral duplaSFcdot dS,
onde F=(x,y,z).
O conteúdo aqui é cálculo de fluxo de campo vetorial por superfície parametrizada, usando
integral duplaSFcdot dS =integral duplaDF(r(u,v))cdotl(rutimesrvr),du,dv

Passo 2

Calcular as derivadas parciais:
ru = partialpartial u(u+v,;u-v,;u,v) = (1,;1,;v),
rv = partialpartial v(u+v,;u-v,;u,v) = (1,;-1,;u)
O produto vetorial é
rutimesrv = i&j&k 1&1&v 1&-1&u =(u+v),i-(u-v),j-2,k

Passo 3

Avaliar F na superfície e fazer o produto escalar:
F(r(u,v))=(u+v,;u-v,;u,v)
Logo
Fcdot(rutimesrv) =(u+v)^2+(u-v)(v-u)-2,u,v =2,u,v

Passo 4

O fluxo fica
integral duplaSFcdot dS =integral duplaD2,u,v,du,dv
Em coordenadas polares no primeiro quadrante, u=rcostheta, v=rsintheta, com 0<= r<=1, 0<=theta<=pi/2, temos
2,u,v =2,r^2costhetasintheta, du,dv = r,dr,dtheta
Então o integral é
integral0^pi/2!!integral0^12,r^2costhetasintheta;r,dr,dtheta =2l(integral0^1r^3,drr)l(integral0^pi/2sinthetacostheta,dthetar)

Passo 5

Calcular cada integral:
integral0^1r^3,dr=14, integral0^pi/2sinthetacostheta,dtheta=12
Logo o resultado é
2cdot14cdot12=14

Resposta

14

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