Se F é uma função de uma variável diferenciável, mostre que u(x, y)=F(y-3 x) é solução a solução geral da E D P
ux-3 uy=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que toda solução da EDP de primeira ordem
ux-3,uy=0
pode ser escrita como
u(x,y)=F(y-3x)
ou, de modo equivalente (veremos adiante), como u(x,y)=G(y+3x). O método que vamos usar é o das características, que transforma a EDP em um sistema de EDOs ao longo das curvas em que u é constante.

Passo 2

Escrevemos as equações das características a partir dos coeficientes de ux e uy:
dxds=1, dyds=-3, duds=0
Da primeira e da segunda equação temos
dydx=dy/dsdx/ds=-31=-3,
cuja integral geral é
y+3x=C(constante ao longo de cada característica) í

Passo 3

A terceira equação diz tfracduds=0, ou seja, u é constante ao longo de cada fibra característica. Logo, u só depende do invariante C=y+3x. Escrevemos então
u(x,y)=F(C)=F(y+3x),
onde F é qualquer função diferenciável de uma variável.

Passo 4

Para reconciliar com a forma F(y-3x) do enunciado, basta notar que, como F é arbitrária, podemos definir
G(t)=F(-t)
e obter
u(x,y)=F(y+3x)=Gl(-(y+3x)r)=G(y-3x)
Assim ambas as escritas representam a mesma família de soluções gerais.

Resposta

u(x,y)=F(y+3x),
ou, equivalentemente,
u(x,y)=G(y-3x),
com F (ou G) qualquer função diferenciável de uma variável.

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