Se
é uma função de uma variável diferenciável, mostre que
é solução a solução geral da
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que toda solução da EDP de primeira ordem
pode ser escrita como
ou, de modo equivalente (veremos adiante), como
. O método que vamos usar é o das características, que transforma a EDP em um sistema de EDOs ao longo das curvas em que
é constante.
Passo 2
Escrevemos as equações das características a partir dos coeficientes de
e
:
Da primeira e da segunda equação temos
cuja integral geral é
Passo 3
A terceira equação diz
, ou seja,
é constante ao longo de cada fibra característica. Logo,
só depende do invariante
. Escrevemos então
onde
é qualquer função diferenciável de uma variável.
Passo 4
Para reconciliar com a forma
do enunciado, basta notar que, como
é arbitrária, podemos definir
e obter
Assim ambas as escritas representam a mesma família de soluções gerais.
Resposta
ou, equivalentemente,
com
(ou
) qualquer função diferenciável de uma variável.