(b) (2017-1) \lim _{x \rightarrow \pi} \frac{(x-\pi)}{\operatorname{tg} x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to\pi}\frac{x-\pi}{\tan x}
Este é um caso de indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Vamos usar a Regra de L’Hôpital para resolver.

Passo 2

Verificamos que, quando x\to\pi, o numerador tende a
x-\pi\to0
e o denominador tende a
\tan x\to\tan\pi=0.
Logo, de fato temos forma indeterminada 0/0.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
numerador’ =1
denominador’ =(\tan x)'=\operatorname{sec}^2 x.
Portanto
\lim_{x\to\pi}\frac{x-\pi}{\tan x} =\lim_{x\to\pi}\frac{1}{\operatorname{sec}^2 x}.

Passo 4

Calculamos \operatorname{sec}^2\pi:
\operatorname{sec}^2\pi=\frac{1}{\cos^2\pi}=\frac{1}{(-1)^2}=1.
Assim
\lim_{x\to\pi}\frac{1}{\operatorname{sec}^2 x} =\frac{1}{\operatorname{sec}^2\pi} =1.

Resposta

1

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