\lim _{x \rightarrow \pi / 2} \frac{x-\frac{\pi}{2}}{\cos x}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to\pi/2}\frac{x-\frac\pi2}{\cos x}.
Isso envolve limites que geram a forma indeterminada 0/0, e vamos usar a regra de L’Hôpital para resolvê-los.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada: ao aproximar x de \pi/2,
o numerador x-\frac\pi2 tende a 0 e o denominador \cos x tende a
\cos\bigl(\pi/2\bigr)=0. Logo, temos indeterminação do tipo 0/0.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
\lim_{x\to\pi/2}\frac{x-\frac\pi2}{\cos x} =\lim_{x\to\pi/2}\frac{\frac{d}{dx}\bigl(x-\tfrac\pi2\bigr)}{\frac{d}{dx}(\cos x)} =\lim_{x\to\pi/2}\frac{1}{-\,\sin x}.

Passo 4

Avaliamo-lo em x=\pi/2: como \sin\bigl(\pi/2\bigr)=1, obtemos
\frac{1}{-\,\sin(\pi/2)}=\frac{1}{-1}=-1.

Resposta

-1

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