\lim _{\theta \rightarrow \pi / 2} \frac{1-\operatorname{sen} \theta}{\theta-\pi / 2}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{\theta \to \pi/2} \frac{1-\sin\theta}{\theta-\pi/2},
que é um caso de limite do tipo 0/0. Vamos usar o conteúdo de regra de L’Hôpital para resolver.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação substituindo \theta=\pi/2:
1-\sin\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=1-1=0,
\theta-\tfrac\pi2\bigl|_{\theta=\pi/2}=0,
logo temos 0/0.

Passo 3

Como é indeterminação 0/0, aplicamos a regra de L’Hôpital, diferenciando numerador e denominador em relação a \theta:
numerador: \dfrac{d}{d\theta}(1-\sin\theta)=-\cos\theta,
denominador: \dfrac{d}{d\theta}(\theta-\tfrac{\pi}{2})=1.

Passo 4

O limite passa a ser
\lim_{\theta\to \pi/2}\frac{-\cos\theta}{1}=-\cos\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=-0=0.

Resposta

0

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