Questāo (valor 3,5)
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(b)
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(b)
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando
tende a menos infinito de
. Aqui, estamos lidando com limites envolvendo expressões algébricas e funções de raiz quadrada. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões com raízes quando
vai para o infinito, especialmente quando lidamos com termos quadráticos dentro da raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz:
. Quando
tende para menos infinito,
se torna muito grande, então
domina o termo constante
. Podemos fatorar
de dentro da raiz para simplificar:
Como
está tendendo a menos infinito,
é negativo, então
.
Passo 3
Substituindo de volta na expressão original:
Fatorando
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o limite de cada parte. Sabemos que quando
tende a menos infinito,
tende a zero. Então:
Assim, a expressão dentro do limite fica:
No entanto, precisamos ser mais precisos, pois estamos subtraindo termos que se aproximam do mesmo valor. Vamos expandir a expressão para obter um termo dominante.
Passo 5
Usando a aproximação de binômio para a raiz quadrada:
Substituindo de volta: