4^2 Questāo (valor 3,5)
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(b) lim x -infty x(2 x+raiz4 x^2+3)

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando tende a menos infinito de . Aqui, estamos lidando com limites envolvendo expressões algébricas e funções de raiz quadrada. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões com raízes quando vai para o infinito, especialmente quando lidamos com termos quadráticos dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz: raiz4x^2 + 3 = |x| raiz4 + 3x^2 . Quando tende para menos infinito, se torna muito grande, então domina o termo constante . Podemos fatorar de dentro da raiz para simplificar:
Como está tendendo a menos infinito, é negativo, então .

Passo 3

Substituindo de volta na expressão original:
x (2x + raiz4x^2 + 3) = x (2x - x raiz4 + 3x^2)
Fatorando x (2x - x raiz4 + 3x^2) = x cdot x (2 - raiz4 + 3x^2) = x^2 (2 - raiz4 + 3x^2) :

Passo 4

Agora, vamos avaliar o limite de cada parte. Sabemos que quando raiz4 + 3x^2 approx raiz4 = 2 tende a menos infinito, x^2 (2 - 2) = x^2 cdot 0 = 0 tende a zero. Então:
Assim, a expressão dentro do limite fica:
No entanto, precisamos ser mais precisos, pois estamos subtraindo termos que se aproximam do mesmo valor. Vamos expandir a expressão para obter um termo dominante.

Passo 5

Usando a aproximação de binômio para a raiz quadrada:
raiz4 + 3x^2 = 2 raiz1 + 34x^2 approx 2 (1 + 38x^2) = 2 + 34x^2
Substituindo de volta:
x^2 (2 - (2 + 34x^2)) = x^2 (-34x^2) = -34

Resposta

limx -infty x(2 x+raiz4 x^2+3) = -34

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