Calcule o fluxo do campo
através da superfície da região delimitada pelo paraboloide
e o plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial
através de uma superfície que é limitada pelo paraboloide
e pelo plano
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de integrais de superfície e, possivelmente, o Teorema da Divergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície pela qual vamos calcular o fluxo. Temos um paraboloide definido por
, que se abre para baixo (já que o termo
é positivo). Esse paraboloide é cortado pelo plano
, formando uma região fechada. Podemos visualizar isso como uma “tigela” cujo fundo está no plano
.
Passo 3
Agora, para calcular o fluxo do campo
através dessa superfície fechada, podemos usar o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo dentro do volume limitado pela superfície. A fórmula do teorema é:
Onde:
-
é o fluxo através da superfície . -
é a divergência do campo . -
indica a integral tripla sobre o volume .
Passo 4
Vamos calcular a divergência do campo
. A divergência é dada por:
Calculando cada termo:
-
(já que não depende de ) -
(já que não depende de ) -
(já que 1 é constante)
Portanto,
Passo 5
Com a divergência sendo zero, a integral tripla se torna:
Isso significa que o fluxo total do campo
através da superfície fechada
é zero.
Resposta
O fluxo do campo
através da superfície delimitada pelo paraboloide
e o plano
é zero.