Calcule o fluxo do campo F = -y i + x j + k através da superfície da região delimitada pelo paraboloide x^2 + y^2 + z = 1 e o plano z = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o fluxo do campo vetorial através de uma superfície que é limitada pelo paraboloide e pelo plano . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de integrais de superfície e, possivelmente, o Teorema da Divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície pela qual vamos calcular o fluxo. Temos um paraboloide definido por , que se abre para baixo (já que o termo é positivo). Esse paraboloide é cortado pelo plano , formando uma região fechada. Podemos visualizar isso como uma “tigela” cujo fundo está no plano .

Passo 3

Agora, para calcular o fluxo do campo através dessa superfície fechada, podemos usar o Teorema da Divergência. Esse teorema relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo dentro do volume limitado pela superfície. A fórmula do teorema é:
Onde:
  • é o fluxo através da superfície .
  • é a divergência do campo .
  • indica a integral tripla sobre o volume .

Passo 4

Vamos calcular a divergência do campo . A divergência é dada por:
Calculando cada termo:
  • (já que não depende de )
  • (já que não depende de )
  • (já que 1 é constante)
Portanto,

Passo 5

Com a divergência sendo zero, a integral tripla se torna:
Isso significa que o fluxo total do campo através da superfície fechada é zero.

Resposta

O fluxo do campo através da superfície delimitada pelo paraboloide e o plano é zero.

Exercícios relacionados