a) (u+v) cdot(u-v)=|u|^2-|v|^2
b) u cdot v=14[|u+v|^2-|u-v|^2]
c) |u+v|^2+|u-v|^2=2(|u|^2+|v|^2)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar três identidades vetoriais envolvendo o produto escalar e norma em um espaço euclidiano. Vamos usar as propriedades de bilinearidade e comutatividade do produto escalar:
  1. acdot(b+c)=acdotb+acdotc,
  2. acdotb=bcdota,
  3. |a|^2=acdota.

Passo 2

Para (a) aplicamos a distributividade:
(u+v)cdot(u-v) =ucdotu-ucdotv+vcdotu-vcdotv
Como ucdotv=vcdotu, os termos mistos cancelam, restando
|u|^2-|v|^2

Passo 3

Para (b) calculamos primeiro
|u+v|^2 =(u+v)cdot(u+v) =|u|^2+2,ucdotv+|v|^2,
e
|u-v|^2 =(u-v)cdot(u-v) =|u|^2-2,ucdotv+|v|^2
Subtraindo as duas expressões:
|u+v|^2-|u-v|^2 =4,ucdotv,
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ucdotv =tfrac14l[|u+v|^2-|u-v|^2r]

Passo 4

Para (c) somamos as mesmas expansões de antes:
|u+v|^2+|u-v|^2 =l(|u|^2+2,ucdotv+|v|^2r) +l(|u|^2-2,ucdotv+|v|^2r),
os termos cruzados se anulam, resultando
2,|u|^2+2,|v|^2 =2l(|u|^2+|v|^2r)

Resposta

a) (u+v)cdot(u-v)=|u|^2-|v|^2
b) ucdotv=tfrac14l[|u+v|^2-|u-v|^2r]
c) |u+v|^2+|u-v|^2=2l(|u|^2+|v|^2r)

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