a) u=m doti-j+k , v=-doti+m j e w=doti+j+k sejam coplanares.
b) u=m doti+2 j+k e v=8 i+m j+2 k sejam paralelos.

Passo 1

Temos duas partes.
a) Queremos m tal que os vetores
u=m,i-j+k,
v=-i+m,j e
w=i+j+k sejam coplanares. Para isso usamos que três vetores são coplanares se e somente se
(utimesv)cdotw=0
b) Queremos m tal que
u=m,i+2,j+k e
v=8,i+m,j+2,k sejam paralelos. Para vetores paralelos basta
utimesv=0

Passo 2

Calculemos em (a) o produto vetorial
utimesv = i & j & k m & -1 & 1 -1 & m & 0 =l(-mr),i-j+l(m^2-1r),k

Passo 3

Ainda em (a), fazemos o produto escalar com w e igualamos a zero:
(utimesv)cdotw =(-m)cdot1+(-1)cdot1+(m^2-1)cdot1 =m^2-m-2=0
Resolvendo
m^2-m-2=0 Longrightarrow m=1pmraiz1+82 =2,,-1

Passo 4

Em (b), para paralelismo basta anular o produto vetorial
utimesv = i & j & k m & 2 & 1 8 & m & 2 =(4-m),i+(8-2m),j+(m^2-16),k

Passo 5

Igualando cada componente a zero:
4-m=0, 8-2m=0, m^2-16=0
as duas primeiras dão m=4 e a terceira permite m=pm4. A única solução comum é
m=4

Resposta

a) m=2 ou m=-1
b) m=4

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