( ) Se u e v são paralelos, então u times v=0;
( ) Se u times v=0, então u ou v é igual a 0;
( ) Se u e v são perpendiculares, então u bul<=t v=0;
( ) Se u bul<=t v=0, então u ou v é igual a 0; (Resposta: F)
( ) Existem vetores não nulos u e v, tais que u times v=0 e u bul<=t v=0;
( ) Se u, v, w é uma base ortonormal, então u times v=w;
( ) Os vetores u, v e w são coplanares se, e somente se, [u, v, w]=0;
( ) Três vetores ortogonais são sempre LI;
( ) Se mu, v, w é uma base positiva, então u, w, v também o é;
( ) O conjunto mu, v, w é uma base apenas quando u e v forem LI.

Passo 1

Temos dez afirmações envolvendo vetores em R^3: propriedades do produto vetorial, produto escalar, base ortonormal, triplo escalar, independência linear e orientação. Para resolver, vamos usar as definições e resultados clássicos:
utimesv=0 sse u e v são colineares.
ucdotv=0 sse eles são perpendiculares.
– Base ortonormal em R^3 pode ser positivamente ou negativamente orientada.
– O produto escalar misto [u,v,w] determina coplanaridade.
– Vetores ortogonais não-nulos são LI.
– Permutar vetores altera o sinal da orientação segundo a paridade da permutação.

Passo 2

Analisamos a relação entre paralelismo e produto vetorial:
– Se uparal<=lv, então sintheta=0 e
|utimesv|=|u||v|sintheta=0,
logo utimesv=0. (Verdadeiro)
– Se utimesv=0, sabemos apenas que u e v são colineares, não necessariamente nulos. (Falso)

Passo 3

Analisamos a relação entre perpendicularidade e produto escalar:
– Se uperpv, então costheta=0 e
ucdotv=|u||v|costheta=0
(Verdadeiro)
– Se ucdotv=0, só concluímos perpendicularidade, não que um dos vetores seja 0. (Falso)

Passo 4

Existem vetores não-nulos tais que utimesv=0 e ucdotv=0?
utimesv=0 implica ângulo 0^circ ou 180^circ, logo ucdotvneq0 se ambos não são nulos. Não existem tais vetores. (Falso)

Passo 5

Para base ortonormal u,v,w:
utimesv=w só vale se a base for positivamente orientada. Como nem toda base ortonormal é positiva, a afirmação é falsa. (Falso)

Passo 6

Coplanares e triplo escalar:
u,v,w são coplanares sse
[u,v,w]=ucdot(vtimesw)=0
(Verdadeiro)

Passo 7

Independência de vetores ortogonais:
– Três vetores não-nulos e mutuamente ortogonais formam um sistema LI. (Verdadeiro)

Passo 8

Permutação em base orientada:
– Se u,v,w é base positiva, trocar v com w (transposição) muda a paridade e inverte a orientação. Logo u,w,v é base negativa. (Falso)

Passo 9

Base em R^3 e subconjuntos LI:
– Se u,v,w é base, é LI. Qualquer subconjunto com dois vetores também deve ser LI, ou perderíamos dimensão. Logo u,v deve ser LI. (Verdadeiro)

Resposta

  1. Verdadeiro
  2. Falso
  3. Verdadeiro
  4. Falso
  5. Falso
  6. Falso
  7. Verdadeiro
  8. Verdadeiro
  9. Falso
  10. Verdadeiro

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