( ) Se
e
são paralelos, então
;
( ) Se
, então
ou
é igual a
;
( ) Se
e
são perpendiculares, então
;
( ) Se
, então
ou
é igual a
; (Resposta: F)
( ) Existem vetores não nulos
e
, tais que
;
( ) Se
é uma base ortonormal, então
;
( ) Os vetores
e
são coplanares se, e somente se,
;
( ) Três vetores ortogonais são sempre LI;
( ) Se
é uma base positiva, então
também o é;
( ) O conjunto
é uma base apenas quando
e
forem LI.
( ) Se
( ) Se
( ) Se
( ) Existem vetores não nulos
( ) Se
( ) Os vetores
( ) Três vetores ortogonais são sempre LI;
( ) Se
( ) O conjunto
Passo 1
Temos dez afirmações envolvendo vetores em
: propriedades do produto vetorial, produto escalar, base ortonormal, triplo escalar, independência linear e orientação. Para resolver, vamos usar as definições e resultados clássicos:
– sse
e
são colineares.
– sse eles são perpendiculares.
– Base ortonormal em pode ser positivamente ou negativamente orientada.
– O produto escalar misto determina coplanaridade.
– Vetores ortogonais não-nulos são LI.
– Permutar vetores altera o sinal da orientação segundo a paridade da permutação.
–
–
– Base ortonormal em
– O produto escalar misto
– Vetores ortogonais não-nulos são LI.
– Permutar vetores altera o sinal da orientação segundo a paridade da permutação.
Passo 2
Analisamos a relação entre paralelismo e produto vetorial:
– Se , então
e
– Se
logo
. (Verdadeiro)
– Se , sabemos apenas que
e
são colineares, não necessariamente nulos. (Falso)
– Se
Passo 3
Analisamos a relação entre perpendicularidade e produto escalar:
– Se , então
e
– Se
(Verdadeiro)
– Se , só concluímos perpendicularidade, não que um dos vetores seja
. (Falso)
– Se
Passo 4
Existem vetores não-nulos tais que
e
?
– implica ângulo
ou
, logo
se ambos não são nulos. Não existem tais vetores. (Falso)
–
Passo 5
Para base ortonormal
:
– só vale se a base for positivamente orientada. Como nem toda base ortonormal é positiva, a afirmação é falsa. (Falso)
–
Passo 6
Coplanares e triplo escalar:
– são coplanares sse
–
(Verdadeiro)
Passo 7
Independência de vetores ortogonais:
– Três vetores não-nulos e mutuamente ortogonais formam um sistema LI. (Verdadeiro)
– Três vetores não-nulos e mutuamente ortogonais formam um sistema LI. (Verdadeiro)
Passo 8
Permutação em base orientada:
– Se é base positiva, trocar
com
(transposição) muda a paridade e inverte a orientação. Logo
é base negativa. (Falso)
– Se
Passo 9
Base em
e subconjuntos LI:
– Se é base, é LI. Qualquer subconjunto com dois vetores também deve ser LI, ou perderíamos dimensão. Logo
deve ser LI. (Verdadeiro)
– Se
Resposta
- Verdadeiro
- Falso
- Verdadeiro
- Falso
- Falso
- Falso
- Verdadeiro
- Verdadeiro
- Falso
- Verdadeiro