Classifique o operador T: R^3 R^3 definido por T[cx y z]=[l3 x-2 y-z -x+2 y-z x+4 y-5 z] em injetivo, sobrejetivo e/ou isomorfismo linear:

Passo 1

O enunciado pede para classificar o operador linear
em injetivo, sobrejetivo e/ou isomorfismo.
Conteúdo: sabemos que, num espaço finito, é injetivo se, e somente se, sua matriz tem determinante não nulo; nesse caso também é sobrejetivo e, portanto, um isomorfismo.

Passo 2

Em relação à base canônica, T corresponde à matriz
A= 3 & -2 & -1 -1 & 2 & -1 1 & 4 & -5

Passo 3

Vamos calcular det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) =32 & -14 & -5 -(-2)-1 & -11 & -5 +(-1)-1 & 21 & 4
Calculando cada menor temos
2 & -14 & -5=-6,
-1 & -11 & -5=6
e
-1 & 21 & 4=-6.
Logo
det(A)=3(-6)-(-2)(6)+(-1)(-6)=-18+12+6=0

Passo 4

Como det(A)=0, a matriz não é invertível. Portanto ker(T)neq0 (não injetivo) e dimIm(T)<3 (não sobrejetivo). Logo T também não é isomorfismo.

Resposta

T não é injetivo, não é sobrejetivo e não é isomorfismo linear.

Exercícios relacionados