Considere a matriz A=[ccc4 & 0 & 1 -2 & 1 & 0 -2 & 0 & 1] e determine:
Uma base de autovetores de A;

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 4 & 0 & 1 -2 & 1 & 0 -2 & 0 & 1
e pede uma base de autovetores. O conteúdo aqui é análise espectral de matrizes quadradas: vamos calcular o polinômio característico para obter os autovalores lambda e, em seguida, resolver (A-lambda I)v=0 para cada lambda a fim de encontrar os autovetores.

Passo 2

Montamos o determinante de A - lambda I:
det(A-lambda I) = det 4-lambda & 0 & 1 -2 & 1-lambda & 0 -2 & 0 & 1-lambda
Usando expansão na primeira linha:
det(A-lambda I) = (4-lambda)det1-lambda & 00 & 1-lambda +1cdotdet-2 & 1-lambda-2 & 0
Logo,
det(A-lambda I) = (4-lambda)(1-lambda)^2 + l(-2cdot0 -(-2)(1-lambda)r) = (4-lambda)(1-lambda)^2 + 2(1-lambda)

Passo 3

Fatoramos o polinômio:
det(A-lambda I) = (1-lambda)l[(4-lambda)(1-lambda)+2r]
No colchete:
(4-lambda)(1-lambda)+2 =4 -5lambda +lambda^2 +2 =lambda^2 -5lambda +6 =(lambda-2)(lambda-3)
Portanto
det(A-lambda I) = -( lambda-1)(lambda-2)(lambda-3),
e os autovalores são
lambda1 = 1, lambda2 = 2, lambda3 = 3

Passo 4

Para , resolvemos
Das segundas e terceiras linhas vem . Da primeira, . O único livre é . Tomando , um autovetor é

Passo 5

Para , resolvemos
Da primeira linha . Da segunda . A terceira é redundante. Tomando , obtemos

Passo 6

Para , resolvemos
Da primeira linha . Da segunda . A terceira confirma. Tomando , resulta

Resposta

Uma base de autovetores de A é
l, (0,1,0),;(1,-2,-2),;(1,-1,-1)r

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