Se A-B=2 C ; A+B=4 C e C=3 i+4 j, determine A e B.
Resposta: A=9 i+12 j ; B=3 i+4 j.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores: A, B e C. As equações dadas relacionam A e B com C. Nosso objetivo é encontrar os vetores A e B sabendo que C = 3 i + 4 j. Para resolver isso, vamos usar operações com vetores e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Vamos começar anotando as duas equações que nos foram dadas:
  1. A - B = 2 C
  2. A + B = 4 C
Nosso objetivo é encontrar A e B. Podemos resolver essas equações simultaneamente.

Passo 3

Vamos somar as duas equações para eliminar B:
(A - B) + (A + B) = 2 C + 4 C
Simplificando:
2 A = 6 C

Passo 4

Agora, isolamos A dividindo ambos os lados por 2:
A = 6 C2 = 3 C
Sabemos que C = 3 i + 4 j, então substituímos:
A = 3 (3 i + 4 j) = 9 i + 12 j

Passo 5

Agora que temos A, vamos substituir esse valor em uma das equações originais para encontrar B. Vamos usar a segunda equação:
A + B = 4 C
Substituindo A:
9 i + 12 j + B = 4 (3 i + 4 j) = 12 i + 16 j

Passo 6

Isolamos B subtraindo A de ambos os lados:
B = 12 i + 16 j - 9 i - 12 j = 3 i + 4 j

Resposta

A = 9 i + 12 j ; B = 3 i + 4 j.

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