Uma bola cai de uma altura
chocando-se com um solo horizontal. Se o coeficiente de restituição é
, mostre que a distância vertical total percorrida pela bola até que os repiques cessem é
e encontre o tempo total gasto até que a bola pare.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma bola que cai de uma certa altura $ h $ e rebate no chão com um coeficiente de restituição $ \epsilon $. Nosso objetivo é mostrar que a distância total que a bola percorre até parar é $ \frac{h(1+\epsilon{2})}{1-\epsilon{2}} $ e também calcular o tempo total que a bola leva até parar de se mover. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento de queda livre e como o coeficiente de restituição afeta os repiques da bola.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o coeficiente de restituição $ \epsilon $. Ele representa a relação entre a velocidade após o impacto e a velocidade antes do impacto. Ou seja, se a bola bate no chão com uma certa velocidade, após o impacto, sua velocidade será $ \epsilon $ vezes essa velocidade. Isso significa que a altura para a qual a bola sobe após o primeiro impacto será $ \epsilon^{2} $ vezes a altura inicial $ h $, porque a energia depende do quadrado da velocidade.
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância total que a bola percorre. Quando a bola cai pela primeira vez, ela percorre uma distância $ h $. Após o primeiro impacto, ela sobe até uma altura $ h \epsilon^{2} $ e depois desce essa mesma altura. Então, no primeiro repique, a bola percorre $ 2 h \epsilon^{2} $. No segundo repique, ela vai subir até $ h \epsilon^{4} $ e descer novamente, totalizando $ 2 h \epsilon^{4} $, e assim por diante.
Passo 4
Observamos que a distância total é uma soma infinita de termos que formam uma progressão geométrica:
Fatorando $ h $, temos:
Essa série infinita pode ser simplificada usando a fórmula da soma de uma progressão geométrica.
Passo 5
A soma de uma progressão geométrica infinita com primeiro termo $ a $ e razão $ r $ é dada por $ \frac{a}{1 - r} $, desde que $ |r| < 1 $. No nosso caso, a série dentro do parênteses é:
A parte dentro dos parênteses agora é uma progressão geométrica com $ a = 1 $ e $ r = \epsilon^{2} $, então sua soma é $ \frac{1}{1 - \epsilon^{2}} $. Portanto:
Passo 6
Agora, multiplicando pela altura $ h $, temos a distância total percorrida pela bola:
Isso mostra a primeira parte do que pediam no exercício.
Passo 7
Agora, vamos calcular o tempo total até a bola parar. Cada vez que a bola cai e sobe novamente, o tempo gasto pode ser calculado usando as equações do movimento uniformemente acelerado. O tempo de queda de uma altura $ h $ é $ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} $, onde $ g $ é a aceleração da gravidade.
Passo 8
Após o primeiro impacto, a altura máxima que a bola alcança é $ h \epsilon^{2} $, então o tempo de subida será $ t’ = \sqrt{\frac{2h\epsilon^{2}}{g}} = \epsilon \sqrt{\frac{2h}{g}} $. O tempo de descida dessa altura também é $ t’ $, então para cada repique, o tempo total é $ 2 t’ = 2 \epsilon \sqrt{\frac{2h}{g}} $.
Passo 9
A soma total do tempo é:
Fatorando $ \sqrt{\frac{2h}{g}} $, temos:
Essa série é novamente uma progressão geométrica com primeiro termo $ a = 1 $ e razão $ r = \epsilon $.
Passo 10
Usando a fórmula da soma da progressão geométrica, a soma dentro dos parênteses é:
Portanto, o tempo total é:
Resposta
A distância vertical total percorrida pela bola até parar é $ \frac{h(1 + \epsilon^{2})}{1 - \epsilon^{2}} $ e o tempo total gasto até que a bola pare é $ \frac{(1 + \epsilon)\sqrt{\frac{2h}{g}}}{1 - \epsilon} $.