Retomaremos agora à situação física descrita no exercício 5.
(a) Determine a constante real e positiva A que garanta que a probabilidade total de encontrar o elétron na região -infty seja igual a 1. Como dito no exercício anterior, chamamos esse processo de normalização da função de onda. Você pode usar o resultado
integral-infty^infty e^-alpha x^2 d x=raizpialpha
que é válido para qualquer alpha número real e positivo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a constante real e positiva $ A $ que faz com que a probabilidade total de encontrar o elétron em toda a linha $ x $ seja igual a 1. Isso está dentro do conteúdo de mecânica quântica, especificamente na parte de normalização de funções de onda. Para resolver, vamos precisar usar uma integral conhecida que envolve a função exponencial de uma variável quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade total de encontrar o elétron é dada pela integral da função de onda ao quadrado, ou seja:
integral-infty^infty |psi(x)|^2 , dx = 1
Como estamos normalizando a função de onda, vamos supor que:
psi(x) = A e^-alpha x^2
Onde $ A $ é a constante que queremos encontrar e $ \alpha $ é um número real e positivo.

Passo 3

Agora, vamos calcular $ |\psi(x)|^2 $:
|psi(x)|^2
Então, a integral que precisamos resolver para normalizar é:
|psi(x)|^2 = (A e^-alpha x^2)^2 = A^2 e^-2alpha x^2

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar o resultado que foi dado no enunciado:
integral-infty^infty e^-beta x^2 , dx = raizpibeta
No nosso caso, $ \beta = 2\alpha $. Então, podemos calcular a integral:
beta = 2alpha

Passo 5

Igualando a integral a 1 para normalização:
A^2 raizpi2alpha = 1
Agora, vamos resolver para $ A $:
A
A^2 = raiz2alphapi

Resposta

A constante $ A $ que normaliza a função de onda é:
A

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