Retomaremos agora à situação física descrita no exercício 5.
(a) Determine a constante real e positiva
que garanta que a probabilidade total de encontrar o elétron na região
seja igual a 1. Como dito no exercício anterior, chamamos esse processo de normalização da função de onda. Você pode usar o resultado
que é válido para qualquer
número real e positivo.
(a) Determine a constante real e positiva
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a constante real e positiva $ A $ que faz com que a probabilidade total de encontrar o elétron em toda a linha $ x $ seja igual a 1. Isso está dentro do conteúdo de mecânica quântica, especificamente na parte de normalização de funções de onda. Para resolver, vamos precisar usar uma integral conhecida que envolve a função exponencial de uma variável quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade total de encontrar o elétron é dada pela integral da função de onda ao quadrado, ou seja:
Como estamos normalizando a função de onda, vamos supor que:
Onde $ A $ é a constante que queremos encontrar e $ \alpha $ é um número real e positivo.
Passo 3
Agora, vamos calcular $ |\psi(x)|^2 $:
Então, a integral que precisamos resolver para normalizar é:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar o resultado que foi dado no enunciado:
No nosso caso, $ \beta = 2\alpha $. Então, podemos calcular a integral:
Passo 5
Igualando a integral a 1 para normalização:
Agora, vamos resolver para $ A $:
Resposta
A constante $ A $ que normaliza a função de onda é: