a) lim t 0(e^-3 t i+t^2sen^2 t j+cos 2 t k)
b) lim t 1(t^2-tt-1 i+raizt+8 j+sen pi tln t k)
c) lim t infty(1+t^21-t^2, tg^-1 t 1-e^-2 ttrang<=
d) lim t inftylang<= t e^-t, t^3+t2 t^3-1, t sen 1trang<=

Passo 1

O problema pede para calcular quatro limites de funções vetoriais do tipo r(t)=lang<= x(t),y(t),z(t)rang<=. O conteúdo usado será:
1. O fato de que limtto ar(t)=lang<=limtto ax(t),,limtto ay(t),,limtto az(t)rang<=.
2. Limites usuais de exponenciais e trigonometria, pequenas-argumentos em sen tapprox t, cos tapprox1, tan^-1ttopi/2 quando ttoinfty, e regras de L’H^opital quando necessário.

Passo 2

Cálculo de
limtto0l(e^-3t,i+t^2sen^2t,j+cos2t,kr)
– Componente i:
limtto0e^-3t=e^0=1
– Componente j: como sen tsim t para tto0,
t^2sen^2tsimt^2t^2=1
– Componente k:
limtto0cos2t=cos0=1
Logo o limite é lang<=1,1,1rang<=.

Passo 3

Cálculo de
limtto1l(t^2-tt-1,i+raizt+8,j+sen(pi t)ln t,kr)
– Componente i: para tneq1, t^2-tt-1=t, logo o limite é 1.
– Componente j: raizt+8toraiz9=3.
– Componente k: forma 0/0. Usa-se expansão em torno de t=1:
sen(pi t)=senl(pi+pi(t-1)r)=-senl(pi(t-1)r)sim -pi(t-1),
ln tsim t-1. Logo
limtto1sen(pi t)ln t =limtto1-pi(t-1)t-1=-pi
Portanto o vetor-limite é lang<=1,3,-pirang<=.

Passo 4

Cálculo de
limttoinftyllang<=1+t^21-t^2,;tan^-1t;1-e^-2ttrrang<=
– Componente x:
1+t^21-t^2 =t^2(1+1/t^2)t^2(1/t^2-1) to1-1=-1
– Componente y:
tan^-1ttopi/2 e 1-e^-2ttsim1tto0.
Produto (pi/2)cdot0=0.
Logo o limite é lang<=-1,0rang<=.

Passo 5

Cálculo de
limttoinftyllang<= t e^-t,;t^3+t2t^3-1,;tsen1trrang<=
– Componente i: t e^-tto0 (exponencial domina polinomial).
– Componente j:
t^3+t2t^3-1 =t^3(1+1/t^2)t^3(2-1/t^3)to12
– Componente k: para u=1/tto0, sen usim u, então
tsen(1/t)=tcdot(1/t)=1
Logo o limite é lang<=0,tfrac12,1rang<=.

Resposta

a) lang<=1,1,1rang<=
b) lang<=1,3,-pirang<=
c) lang<=-1,0rang<=
d) lang<=0,tfrac12,1rang<=

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