Calcule através de mudança de variáveis.
integral0^1[integral0^raizx-x^2 x d y] d x (Resp: pi16)

Passo 1

A questão pede para calcular a integral dupla integral0^1integral0^raizx - x^2 x,dy,dx usando mudança de variáveis. O que vamos usar aqui é reconhecer que a região de integração é metade de um disco de raio 1/2 centrado em (1/2,0) e então passar para coordenadas polares deslocadas.

Passo 2

Primeiro, observamos que a condição 0 <= y <= raizx - x^2 equivale a y^2 <= x - x^2, isto é,
(x - tfrac12)^2 + y^2 <= l(tfrac12r)^2, y>=0
Essa inequação descreve um semicírculo de raio 1/2 acima do eixo x. Para parametrizar, fazemos a mudança
x = tfrac12 + rcostheta, y = rsintheta, com rin[0,tfrac12] e thetain[0,pi]. O jacobiano dessa transformação é
J = r

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral0^1!integral0^raizx - x^2 x,dy,dx = integral0^pi!integral0^1/2 l(tfrac12 + rcosthetar),r,dr,dtheta

Passo 4

Agora separamos em dois termos:
integral0^pi!integral0^1/2 tfrac12,r,dr,dtheta + integral0^pi!integral0^1/2 r^2costheta,dr,dtheta

Passo 5

No segundo termo aparece integral0^picostheta,dtheta=0, logo só o primeiro sobrevive. Calculando-o:
tfrac12gl(integral0^1/2r,drgr)gl(integral0^pidthetagr)=tfrac12cdottfrac18cdotpi=tfracpi16

Resposta

tfracpi16

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