Use a definição de derivadas para calcular f^prime(a)
f(x)=raizx^2+4, a=5

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=raizx^2+4 em a=5 usando a definição de derivada. Vamos precisar da fórmula
f'(a)=limxto af(x)-f(a)x-a
e de um truque de racionalização para eliminar o radical no numerador.

Passo 2

Aplicando a definição em a=5, temos
f'(5)=limxto5raizx^2+4-raiz5^2+4x-5 =limxto5raizx^2+4-raiz29x-5

Passo 3

Para resolver esse limite, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do numerador:
raizx^2+4-raiz29x-5cdotraizx^2+4+raiz29raizx^2+4+raiz29 =x^2+4-29(x-5)l(raizx^2+4+raiz29r)

Passo 4

Note que x^2+4-29 = x^2-25 = (x-5)(x+5). Assim o fator (x-5) cancela:
(x-5)(x+5)(x-5)l(raizx^2+4+raiz29r) =x+5raizx^2+4+raiz29

Passo 5

Agora basta tomar o limite xto5:
f'(5)=limxto5x+5raizx^2+4+raiz29 =5+5raiz25+4+raiz29 =10raiz29+raiz29 =102raiz29 =5raiz29

Resposta

5raiz29

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